Puntos y ángulo de Brocard de un triángulo
Los puntos de Brocard del triángulo ABC son dos puntos Ω y Ω' para cada uno de los cuales se verifica que los segmentos que lo unen con los vértices forman el mismo ángulo con los lados: ∠ΩAB = ∠ΩBC = ∠ΩCA, ∠ABΩ' = ∠BCΩ' = ∠CAΩ'. Todos los ángulos anteriores tienen un mismo valor ω que verifica cotg ω = cotg α + cotg β + cotg γ.
También pueden definirse como el punto de intersección de las circunferencias que pasan por un vértice y son tangentes al lado opuesto en el siguiente vértice, en uno u otro sentido.
El máximo valor posible del ángulo ω es de 30°, correspondiente al caso de un triángulo equilátero. El valor de ω también se expresa muy fácilmente en función de los lados y del área del triángulo:
c = AB = AF + FB = h cotg α + h cotg β = h(cotg α + cotg β)
c2 = hc(cotg α + cotg β) = 2△(cotg α + cotg β)
procediendo igual con los otros lados,
b2 = 2△(cotg β + cotg γ)
a2 = 2△(cotg γ + cotg α)
Sumando las tres y sustituyendo la fórmula obtenida,
a2 + b2 + c2 = 4△(cotg α + cotg β + cotg γ)
cotg ω = (a2 + b2 + c2)/(4△)
Los puntos de Brocard son evidentemente conjugados isogonales uno del otro. Existen para cualquier triángulo, aunque la figura necesitaría algunos ajustes para triángulos oblicuángulos.
Pierre René Jean Baptiste Henri Brocard (12/5/1845 - 16/1/1922) fue un meteorólogo y matemático francés, con especial dedicación a la geometría.