SO(3, ℂ) als Möbiusgruppe
- Autor:
- Walter Füchte
Diese Seite ist Teil des GeoGebrabooks Moebiusebene (29.09.2020)
Im komplexen, 3-dimensionalen Vektorraum mit nicht-ausgearteter quadratischer Form
wird eine orientierte Basis mit ausgewählt,
für welche die beiden Produkttabellen gelten sollen:
- durch die eindeutig bestimmte Linearform für alle
Diese Darstellung der ebenen Möbiusgeometrie hat Nachteile, aber sehr viele Vorteile:
Die Kreise als einzelne Objekte sind nicht leicht zugänglich!
Dagegen steht die Vielfalt der Deutungsmöglichkeiten der PUNKTE und der Vektoren von .
- Die - projektiv anzusehenden - PUNKTE auf - d.h. es ist - sind die Punkte der Möbusgeometrie.
- Die Vektoren mit können als Tangentialvektoren gedeutet werden: ist eine differenzierbare Kurve, so ist tangential an die Kurve. kann reell oder komplex sein. Im 2. Falle werden komplex-analytische Funktionen erfasst!
- Die Vektoren können als infinitesimale Möbius-Bewegungen gedeutet werden: die lineare Abbildungen , erklärt durch für alle , wirken auf die Möbiuspunkte auf . Die Bahnkurven der Bewegungen sind je nach Typ des Vektors für reelle Parameter t elliptische (), oder hyperbolische () oder parabolische () Kreisbüschel; für erhält man loxodromische Bahnkurven, das sind die Kurven, welche ein hyperbolisches ( - oder ein elliptisches - ) Kreisbüschel unter konstantem Winkel schneiden.
- Die Bewegungen sind Ein-Parameter-Untergruppen der Möbiusgruppe. Solche Bewegungen einer Gruppe werden als W-Bewegungen bezeichnet. Auch hier erhält man eine reelle - - oder eine komplexe - - Gruppe.
- Die Tangentialvektoren der Bahnkurven einer W-Bewegung auf der Quadrik erzeugen ein lineares Vektorfeld: , mit . Siehe dazu das book-Kapitel Kreisbüschel oder lineare Vektorfelder
- Die Vektoren mit können als Geradenvektoren im Kugel-Modell der Möbiusebene gedeutet werden: Die GERADE mit schneidet die Kugel in 2 Punkten. Die GERADE ist die nicht-schneidende Polare dazu!
- Von Interesse sind auch die quadratischen Vektorfelder: mit . Die Berechnung ergibt eine elliptische Differentialgleichung , deren Lösungskurven bei speziellen Lagen der Brennpunkte konfokale bizirkulare Quartiken sind; dies ist zB. der Fall, wenn die Brennpunkte auf einem Kreis liegen!
- Läßt man oben oder unten im Applt die "Brennpunkte" gegeneinander laufen, so nähern sich die Kreisbüschel und die Bahnkurven den Kreisen von parabolischen Kreisbüscheln!
Ein lineares Vektorfeld in ℂ
Dieses Vektorfeld ist mit den oben angegebenen Formeln des Übertragungsprinzips konstruiert:
Zu werden berechnet.
Die Verbindungsgerade im Kugelmodell ist .
Der Richtungsvektor im Punkt wird mit Hilfe des linearen Vektorfeldes berechnet.
Dank ge
gebra sind alle komplexen Rechnungen problemlos!
