Umkehrfunktionen
- Autor:
- Doris Fleischanderl
Allgemeines
Definition Umkehrfunktion
Ergibt die Umkehrung einer Funktion f wieder eine Funktion f*, so nennt man f eine umkehrbare Funktion.
f* heißt Umkehrfunktion oder inverse Funktion von f (anstelle von f* ist auch f^-1 gebräuchlich).
f* ist genau dann eine Funktion, wenn f bijektiv ist.
Definitions- und Wertemenge
Beim Umkehren vertauschen sich Definitions- und Wertemenge . Die Definitionsmenge von f ist die Wertemenge von f^−1 und die Wertemenge von f ist die Definitionsmenge von f^−1.
Die Umkehrfunktion einer Funktion lässt sich in drei Schritten bestimmen:
1) Funktion als y = f(x) umschreiben
2) Die neue Funktion nach x lösen
3) Um f-1(x) als Funktion von x zu schreiben, müssen x und y ausgetauscht werden
Nicht alle Funktionen haben eine Umkehrfunktion
Es ist nicht grundsätzlich so, dass jede Funktion auch eine entsprechende Umkehrfunktion besitzt.
Hat eine Funktion für einen Wert von x zwei oder mehr verschiedene Funktionswerte, so ist es meistens nicht möglich, die Umkehrfunktion einfach zu bestimmen.
Graphisch lässt sich dies mit einer horizontalen Linie bestimmen.
Zeichnet man die Funktion, dann darf eine horizontale Linie den Graphen nur an einer Stelle schneiden. Schneidet sie den Graphen an mehreren Stellen, so existiert wahrscheinlich keine Umkehrfunktion.
Bsp: Potenzfunktion (nicht umkehrbar) f(x)=x²
Umkehrfunktionen in Geogebra
Grundsätzlich gibt es 3 Möglichkeiten Umkehrfunktionen in Obergebra darzustellen:
1. Bei Kennen der Umkehrfunktion, Eingabe dieser
2. Spiegelung an der ersten Mediane
3. Verwendung der "Invertiere" - Funktion
Bei den folgenden Beispielen wurden alle Umkehrungen mit der Spiegelung an der ersten Mediane erstellt.
Erste Mediane:
Die erste Mediane in einem kartesischen xy-Koordinatensystem ist die 45°-Gerade durch den Ursprung, d.h. jene Gerade, auf der y = x gilt.
Beispiel 1: Lineare Funktion
Dieses Beispiel zeigt eine Lineare Funktion. Die dazugehörige Umkehrfunktion wurde durch Spiegelung an der ersten Mediane erstellt.
Vorgehensweise für die Erstellung dieses Arbeitsblattes:
Zunächst wurden ein Eingabefeld erstellt, in welchem die lineare Funktion angezeigt wird.
Zudem haben wir eine Variable in der lineare Funktion eingebunden. Diese kann über eine Schieberegler verändert werden. Um die Funktion nun zu spiegeln, benötigt man die erste Mediane.
Hierzu wurden zwei Punkte A(0,0) und B(1,1) eingefügt. (Diese sind im Arbeitsblatt ausgeblendet).
Durch diese zwei Punkte wird nun eine Gerade gelegt -> Gerade[A, B].
Somit erhält man die erste Mediane. Diese haben wir in den Einstellungen so angepasst, dass sie strichliert dargestellt wird. Nun kann die pro Winkelfunktion die Umkehrfunktion an der ersten Mediane gespiegelt werden. (Links erhält man die Funktionen nun auch in der Parameterdarstellung angezeigt.)
Hierzu haben wir den Befehl "Spiegle an Gerade" verwendet.
Als Resultat erhält man dann die Umkehrfunktionen zu den Ursprungsfunktionen.
Zudem der Punkt P der Ursprungsfunktion und der gespiegelte Punkt P´ der Umkehrfunktion angezeigt. Auf der Grafikeben wird zudem noch der Abstand der zwei Punkte ausgegeben.
Beispiel 2: Exponentialfunktion
Dieses Beispiel zeigt eine Exponentialfunktion. Die dazugehörige Umkehrfunktion wurde durch Spiegelung an der ersten Mediane erstellt.
Vorgehensweise für die Erstellung dieses Arbeitsblattes:
Zunächst wurde die Funktion g(x) = c*a^x erstellt. Da in dieser Funktion Variablen (c und a) verwendet wurden, wird beim einfügen der Funktion gefragt, ob man zugehörige Schieberegler einfügen möchte.
Um die Funktion nun zu spiegel, benötigt man die erste Mediane. Hierzu wurden zwei Punkte A(0,0) und B(1,1) eingefügt. (Diese sind im Arbeitsblatt ausgeblendet).
Durch diese zwei Punkte wird nun eine Gerade gelegt -> Gerade[A, B]. Somit erhält man die erste Mediane. Diese haben wir in den Einstellungen so angepasst, dass sie strichliert dargestellt wird.
Nun kann die Ursprungsfunktion an der ersten Mediane gespiegelt werden.
Hierzu haben wir den Befehl "Spiegle an Gerade" verwendet. (Links erhält man die Funktionen nun auch in der Parameterdarstellung angezeigt.)
Als Resultat erhält man dann die Umkehrfunktion zur Ursprungsfunktion.
Zudem haben wir noch einen Kontrollkästchen eingefügt, welches wir mit der Umkehrfunktion verknüpft haben.
Beispiel 3: Quadratische Funktion
Dieses Beispiel zeigt eine Quadratische Funktion (D = R+).
Ihre Umkehrfunktion, eine Wurzelfunktion, wurde direkt eingegeben und durch Spiegelung an der ersten Mediane erstellt. Durch Ein- und Ausblenden beider kann man sehen, dass sie identisch sind.
Vorgehensweise für die Erstellung dieses Arbeitsblattes:
Bei Eingabe der Quadratischen Funktion f(x)=x^2 ist auf die Einschränkung des Definitionsbereiches auf R+ zu achten, um eine umkehrbare, bijektive Teilfunktion zu erhalten.
Zunächst wurde die Funktion f(x) = sqrt(x) erstellt.
Um die Funktion nun zu spiegeln, benötigt man die erste Mediane.
Hierzu wurden zwei Punkte A(0,0) und B(1,1) eingefügt. (Diese sind im Arbeitsblatt ausgeblendet).
Durch diese zwei Punkte wird nun eine Gerade gelegt -> Gerade[A, B].
Somit erhält man die erste Mediane. Diese haben wir in den Einstellungen so angepasst, dass sie strichliert dargestellt wird.
Nun kann die Ursprungsfunktion an der ersten Mediane gespiegelt werden.
Hierzu haben wir den Befehl "Spiegle an Gerade" verwendet. (Links erhält man die Funktionen nun auch in der Parameterdarstellung angezeigt.)
Als Resultat erhält man dann die Umkehrfunktion zur Ursprungsfunktion. Zudem haben wir noch zwei Kontrollkästchen eingefügt, welche es ermöglichen die Funktionen ein und aus zu blenden.
Beispiel 4: Winkelfunktionen
Dieses Beispiel zeigt die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens.
Die dazugehörige Umkehrfunktionen Arkussinus, Arkuscosinus und Arkustangens werden durch eine Spiegelung an der ersten Mediane erstellt.
Vorgehensweise für die Erstellung dieses Arbeitsblattes:
Zunächst wurden die drei Funktionen Sinus f(x) = sin(x), Cosinus h(x) = cos(x) und Tangens k(x) = Wenn[(-π) / 2 < x < π / 2, tan(x)] erstellt. (Beim Tangens wurde der Wertebereich eingeschränkt, damit diese Funktion nur einmal angezeigt wird.)
Um die Funktion nun zu spiegeln, benötigt man die erste Mediane. Hierzu wurden zwei Punkte A(0,0) und B(1,1) eingefügt. (Diese sind im Arbeitsblatt ausgeblendet).
Durch diese zwei Punkte wird nun eine Gerade gelegt -> Gerade[A, B].
Somit erhält man die erste Mediane. Diese haben wir in den Einstellungen so angepasst, dass sie strichliert dargestellt wird.
Nun kann die pro Winkelfunktion die Umkehrfunktion an der ersten Mediane gespiegelt werden. (Links erhält man die Funktionen nun auch in der Parameterdarstellung angezeigt.)
Hierzu haben wir den Befehl "Spiegle an Gerade" verwendet.
Als Resultat erhält man dann die Umkehrfunktionen zu den Ursprungsfunktionen.
Zudem haben wir noch drei Kontrollkästchen eingefügt, welche es ermöglichen die jeweils zusammengehörenden Funktionen ein und aus zu blenden.
Des weiteren haben wir noch eine Textbaustein eingefügt, der die Werte und Definitionsbereiche anzeigt. Eine weitere Anpassung war noch die Beschriftung der x und y Achse. Hier haben wir die Einheit π mit dem Abstand 1/2π gewählt. Dies war in den Grafikeinstellungen möglich.
Didaktischer Kommentar
Allgemein (Betrifft alle 4 Beispiele)
Mit diesen Beispielen wollen wir veranschaulichen, wie die Umkehrung verschiedener Funktionen aussehen.
Der Vorteil an der Darstellung in Geogebra ist, dass die Darstellung sehr dynamisch gestaltet werden kann.
D.h man kann Funktionen anpassen, sie ein und ausblenden, die Funktion vom Nahen betrachten und vieles mehr.
Somit wird den Studierenden und Schülern die Möglichkeit geboten, selbst etwas auszuprobieren und die Veränderungen zu beobachten.
Des weiteren wird das Wissen bei den Studierenden und Lernenden wieder aufgefrischt, welche unterschiedlichen Funktionstypen es gibt und wie diese grafisch dargestellt aussehen.
Beispiel 1 - Lineare Funktion
Dieses Arbeitsblatt zeigt die Funktion a*x+1, welche an der ersten Mediane gespiegelt wird.
Sichtbar wird in diesem Beispiel nochmal, dass die Gerade vom Punkt P der Ursprunksfunktion zum Punkt P' der Umkehrfunktion normal auf die erste Mediane steht.
Zudem wird noch der Abstand der beiden Punkte links ausgegeben.
Wenn man den Schieberegler auf einen anderen Wert stellt, dann kann man beobachten, wie sich die Ursprungsfunktion und gleichzeitig die Umkehrfunktion ändert.
Beispiel 2 - Exponential Funktion
Dieses Arbeitsblatt zeigt die exponential Funktion g(x)=c a^x, welche an der ersten Mediane gespiegelt wird.
Die Variablen a und c können über Schieberegler angepasst werden, wodurch man beobachten kann wie sich die Ursprungs und Umkehrfunktion ändern.
In diesem Beispiel hat man auch noch die Möglichkeit, die Umkehrfunktion ein und auszublenden.
Beispiel 3 - Quadratische Funktion
Dieses Arbeitsblatt zeigt die Ursprungsfunktion sqrt(x), welche an der ersten Mediane gespiegelt wird.
Die Umkehrfunktion dazu ist x^2, wobei x> 0.
Im Arbeitsblatt hat man die Möglichkeit die Funktionen ein und auszublenden.
Beispiel 4 - Winkelfunktionen
Dieses Arbeitsblatt veranschaulicht die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens und die zugehörigen Umkehrfunktionen.
Über die Kästchen hat man wieder die Möglichkeit die verschiedenen Winkelfunktionen inklusive ihren zugehörigen Umkehrfunktionen ein und auszublenden.