Exponentielles Wachstum - Gesetzmäßigkeiten und relevante Größen zur Beschreibung
- Autor:
- Eva Rudolph, Frank Reuter, Matthias Graubner
- Thema:
- Exponentialfunktionen
Erarbeite dir die Gesetzmäßigkeiten des exponentiellen Wachstums. Variiere dazu die Eingangsgrößen mittels Schiebereglern bzw. Eingabefeldern.
Das Wachstumsgesetz hat verschiedene Schreibweisen, je nachdem, ob der Wachstumsfaktor a, die Verdopplungszeit TD oder die Wachstumskonstante k bzw in der Grafik: vorgegeben ist.
In der Grafik werden die beiden letzten Varianten dargestellt. Teste Sie. Bearbeite nicht die Aufgaben 1, 2, 3 und 4 die in der Grafik erscheinen!
Bei beiden Gleichungsarten kann ein Punkt entlang des Graphen per Maus bewegt werden.
Aufgaben - löse teilweise im Heft und notiere außer den Ergebnissen auch die wichtigsten Erkenntnisse im Heft!
1. Gegeben sei nun ein Wachstumsvorgang durch B(t) = B0 at
Wähle zwei Werte für B0 (0) und a ( 1) und erstelle eine Wertetabelle ( t zwischen 1 und 10)
Zeige, dass sich der Bestand pro Zeiteinheit t mit dem Faktor a multipliziert wird.
a heißt Wachstumsfaktor.
2. Überführe die Schreibweise B(t) = B0 at in die Schreibweise B(t) = B0 ekt.
Die Zahl k heißt Wachstumskonstante bzw. falls k < 0 ist, Zerfallskonstante. Finde einen Term, der k aus a
berechnet. Tipp: Jede Zahl z kann man schreiben als .
Zwischenergebnis - wie ist der Zusammenhang zwischen k und a?
Trage hier dein Ergebnis ein:
3. Welche Eigenschaft hat k, falls a < 1 ist?
4. Sieh dir "Wissenswertes über exponentielles Wachsum" in der Grafik
an.
Was ist der Vorteil von k?
5. Weshalb ist es sinnvoll, beim exponentiellen Wachstum von einer Verdoppelungszeit (für a > 1) bzw. von einer Halbwertszeit (für a <1) zu sprechen?
Term für die Vedoppelungszeit
6. Berechne einen Term für die Verdoppelungszeit TD , in dem du folgende Gleichung nach t auflöst: 2B0 = B0ekt TD =
Term für die Halbwertszeit
7. Berechne für k < 0 einen Term für die Halbwertszeit TH , in dem du folgende Gleichung nach t auflöst: B0 = B0ekt . TH =