Polígonos esféricos
El procedimiento para el triángulo esférico
Un segmento AB lo escribimos en forma de curva con la expresión:
Curva(s A+(1-s) B,s,0,1)
Una superficie a partir de 3 puntos será (del segmento AB al punto C):Superficie(t (s A+(1-s) B)+(1-t) C,s,0,1,t,0,1) t (s A+(1-s) B)+(1-t) C = s t A + (1-s) t B +(1-t) C
Esta es la expresión que sale en la aplicación del triángulo esférico con la peculiaridad que cambia a coordenadas esféricas la expresión anterior con las funciones alt y arg:Superfície((1.02 R; arg(s t A + (1 - s) t B + (1 - t) C); alt(s t A + (1 - s) t B + (1 - t) C)), s, 0, 1, t, 0, 1)
siendo R el radio de la circumferencia. Con este "truco" se "esferifica" la superficie plana a partir de 3 puntos y, de esta manera, sale la superficie que delimita el triángulo esférico. Consiste en convertir una expresión a coordenadas esféricas y colocarla dentro del comando Superficie.En esta aplicación, José Manuel Arranz muestra como dibujar la superficie que delimita un triángulo esférico a partir del truco citado.
Si queremos dibujar un cuadrilátero esférico podemos seguir el mismo procedimiento que con la superficie reglada entre dos segmentos y luego usando el "truco" de las coordenadas esféricas.
Dados cuatro puntos A, B, C y D, podemos definir los dos segmentos AB y CD como hemos hecho anteriormente:
a(t) = Curva(A+t (B - A),t,0,1) b(t) = Curva(C+t (D - C),t,0,1)
La superficie reglada entre los dos segmentos AB y CD viene dada a partir de la expresión siguiente:Superficie(k a(t) + (1-k) b(t),t,0,1,k,0,1)
Si ahora la queremos "poner" encima de la esfera nos basta con hacer lo mismo que antes:Superficie((1.02 R; arg(k a(t) + (1-k) b(t)); alt(k a(t) + (1-k) b(t))), k, 0, 1, t, 0, 1)
Aún más sencillo que con la expresión anterior que hemos mostrado porqué es la que encontró José Manuel Arranz.Herramientas para dibujar polígonos esféricos
Esta aplicación permite dibujar polígonos esféricos a partir de cuatro herramientas. Es conveniente descargar el archivo para usar las herramientas en otras aplicaciones.
Si se trata de pentágonos y hexágonos tenemos que recurrir a expresiones muy largas para definir los polígonos como lineas poligonales. Dibujar varios triángulos esféricos no crea una superficie diáfana aunque sea una solución más sencilla.
Ahí va la expresión para definir paramétricamente la poligonal (en el caso del hexágono):
a(t) = Curva(Si(t ≤ 1, A + t (B - A), Si(1 < t ≤ 2, B + (t - 1) (C - B), Si(2 < t ≤ 3, C+ (t - 2) (D - C), Si(3 < t ≤ 4, D + (t - 3) (E - D), Si(4 < t ≤ 5, E + (t - 4) (F - E), F + (t - 5) (A - F)))))), t, 0, 6)
Y ahora "enviamos" todos los puntos de la poligonal al punto A. De otra manera también hay problemas con la calidad de la superficie obtenida:
Superficie((1.02 R; arg(k a(t) + (1-k) A); alt(k a(t) + (1-k) A)), k, 0, 1, t, 0, 1)