Monotonie einer Funktion
Ein 9,5 km langer Wanderweg führt von der Talstation bis zur Steinkoglhütte.
Die Funktion f ordnet der Länge des zurückgelegten Weges jeweils die aktuelle Seehöhe zu.
f: [0,23] → R+, Weg (in km) → Seehöhe (in m)
Gerade beim Wandern oder Rad fahren interessiert dich sicher, wann es bergauf und wann es bergab geht. Mathematisch gesehen fragen wir uns dabei, ob Funktionswerte steigen (wachsen) oder fallen.
Wir untersuchen also die Monotonie der vorgegeben Funktion.
Die Aufgaben findest du unterhalb des Applets.
Aufgabe 1)
Beschreibe die Funktion die dem Höhenprofil der Abbildung zugrunde liegt.
Zum Beispiel: f(0) ≈ 200 m, denn die Talstation liegt 200 m über dem Meer.
Aufgabe 2)
Beschreibe die Monotonie der Funktion.
Zum Beispiel:
In 0 ˂ x ˂ 1,2 ist f streng monoton steigend. Die ersten 1,2 km geht es bergauf.
Aufgabe 3)
Schön wäre es nun, die Monotonie auch berechnen zu können. Hierbei hilft die Ableitungsfunktion. Schalte diese nun ein.
Untersuche, wie man mithilfe der Ableitungsfunktion erkennen kann, ob der Bergsteiger bergauf oder bergab geht.
Aufgabe 4)
Beschreibe, an welchen Stellen sich die Monotonie ändert. Wie äußert sich dies in der Ableitungsfunktion? Unterscheide zwischen Hoch- und Tiefpunkten.
Lösungen zu Aufgabe 3 und 4
Lösung zu Aufgabe 3
Lösung zu Aufgabe 4