de rij van Fibonacci anders bekeken

De expliciete formule voor de rij van Fibonacci is

of nog

Uit de benaderende formule

, waarbij de tweede term uit de teller weggelaten wordt, volgt dat bij benadering de rij van Fibonacci een meetkundige rij is met beginwaarde

en quotiënt

. Zet je deze waarde uit op de grafiek van

of kijk je naar de tabel, dan merk je inderdaad:

De getallen van de rij van Fibonacci zijn beurtelings kleiner en groter dan de benaderde waarde omdat de weggelaten tweede term afwisselend positief en negatief is.
De benadering wordt kleiner bij toenemende waarden van n.

Anders gezegd: Deel je een getal uit de rij van Fibonacci door het vorige getal uit de rij, dan benadert het quotiënt de waarde 1.618... en hoe verder je gaat in de rij hoe beter de benadering wordt. Deze waarde duikt dus niet zomaar op wanneer je opeenvolgende Fibonacci getallen deelt door elkaar. Ze volgt gewoon uit de expliciete formule voor de rij van Fibonacci, waarin reeds

voorkomen. Sommigen worden al euforisch wanneer ze ergens een willekeurig Fibonacci getal tegenkomen en menen dat ze meteen de gulden snede hebben gespot. Dan haal je natuurlijk appels en peren door elkaar. Ook 2, 3, 5 en 8 zijn Fibonacci getallen die je courant tegenkomt. In de natuur komen ook grotere Fibonacci getallen voor. Dat lees je bv. in de pagina over zonnebloemen.

is echter gewoon limietwaarde wanneer n oneindig groot wordt, volgend uit de expliciete formule voor de Fibonacci rij. Daarom kom je in de natuur wel Fibonacci getallen tegen, maar niet

Chris Impens besluit: "Fibonacci getallen komen voor in de fysische realiteit en kunnen ondubbelzinnig nageteld worden. Irrationale getallen kan je niet waarnemen of meten. Volgens het scheermes van Ockham verkies je daarom de eerste boven de laatste. M.a.w.: Fibonacci getallen zijn reëel terwijl het gulden getal een wiskundig artefact is, voorkomend uit idealisering."

de rij van Fibonacci anders bekeken

New Resources

Discover Resources