Funzioni esponenziali e tasso di crescita
Cosa è il tasso di crescita di una funzione esponenziale?
L'app di seguito visualizza il grafico della funzione esponenziale per .
L'ordinata del punto rosso nel grafico è .
Utilizza lo slider per mostrare i punti ad ascissa intera e ordinata , e visualizzane le coordinate nella tabella sotto al grafico (i valori sono approssimati a 2 cifre decimali).
Trascina lo slider al valore massimo, e osserva la tabella di valori.
Noti qualcosa in particolare?
Ogni termine è il prodotto del termine precedente per 2!
Formalizzando, diremo che , , e così via.
Nota: Puoi modificare la funzione in ogni istante, trascinando i due punti su di essa. Esplora la relazione che intercorre tra due termini consecutivi della successione di valori, e confrontala con l'espressione della funzione.
Generalizziamo...
Considera la funzione esponenziale e sia . Mostra che .
Ora vediamo come leggere la formula...
Abbiamo ora una formula ricorsiva che mostra la relazione tra due valori assunti della funzione in due punti che distano 1 unità uno dall'altro:
.
Possiamo leggere la formula come "la funzione esponenziale data cresce in modo proporzionale (moltiplicativo) di 2 unità in ogni intervallo di lunghezza 1 unità".Conclusioni (e qualche proprietà in più)
L'esempio che abbiamo esaminato per ragionare sul tasso di crescita di una funzione esponenziale è la restrizione di una funzione esponenziale di base per , e abbiamo considerato valori interi della x per semplificare il ragionamento, ma tali considerazioni valgono per ogni .
Generalizzando la formula ottenuta in precedenza per ogni funzione esponenziale del tipo con , possiamo dire che queste funzioni crescono proporzionalmente (moltiplicativamente) di unità in ogni intervallo di lunghezza 1 unità.
Inoltre, esse crescono proporzionalmente di una quantità in ogni intervallo di lunghezza .
Dimostrazione:
Se 0<b<1, avremo un decadimento esponenziale, e il grafico della funzione sarà decrescente, ma le proprietà generali rimangono le stesse. Utilizza l'applet qui sopra per creare grafici che rappresentano un decadimento esponenziale, e osserva le tabelle di valori.
Funzioni esponenziali → Crescita moltiplicativa (proporzionale)