La Helena de la Geometría
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra El dominio del Tiempo.
Imagina una rueda que gira sobre un plano horizontal, sin deslizarse. Un punto de su circunferencia realizará una combinación de dos movimientos: el rectilíneo uniforme (MRU) del centro de la rueda (punto blanco) y el circular uniforme (MCU) del punto que gira alrededor de ese centro (punto verde). Esta combinación da lugar al recorrido del punto de la rueda (punto naranja), un recorrido curvo denominado cicloide 
(también conocida como la Helena de la Geometría, por las muchas discusiones físico-matemáticas que generó a lo largo de la historia).
Pulsa el botón 
para ver esta curva.
Como puedes observar, a partir de su definición, hay dos consecuencias evidentes. La primera es que la cicloide una curva periódica, pues, a cada vuelta de rueda, el punto comienza el mismo trazado. La segunda es que su período es la longitud de la circunferencia (2πr, siendo r el radio de la rueda), pues en cada vuelta la rueda recorre su perímetro. Varía el valor de r para comprobarlo.
En la construcción, hemos limitado la curva a los valores de un ángulo α entre -2π y 2π. Para cada valor de α, el ángulo del punto verde es -α - π/2. Así que su posición es (recuerda lo que hemos visto sobre las coordenadas polares): (r ; -α - π/2). Para ese mismo valor α, el punto blanco se desplaza en horizontal, a una altura r, la longitud del arco de rueda correspondiente: α r. Así que su posición es (α r, r). Por lo tanto, la posición del punto naranja es:
(α r, r) + (r ; -α - π/2)
Esta es la ecuación de la cicloide. Con GeoGebra, podemos representar los dos arcos mostrados de la curva como:
c(α) = (α r, r) + (r ; -α - π/2), -2π ≤ α ≤ 2π
o bien, usando el comando Curva:
Curva((α r, r) + (r ; -α - π/2), α, -2π, 2π)
En las siguientes actividades haremos uso de esta curva, pero invertida. Activa la casilla "Invierte" para verla. En la cicloide invertida, la posición del punto naranja viene dada, para el ángulo α, por:
(α r, r) + (r ; α + π/2)
(también conocida como la Helena de la Geometría, por las muchas discusiones físico-matemáticas que generó a lo largo de la historia).
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Como puedes observar, a partir de su definición, hay dos consecuencias evidentes. La primera es que la cicloide una curva periódica, pues, a cada vuelta de rueda, el punto comienza el mismo trazado. La segunda es que su período es la longitud de la circunferencia (2πr, siendo r el radio de la rueda), pues en cada vuelta la rueda recorre su perímetro. Varía el valor de r para comprobarlo.
En la construcción, hemos limitado la curva a los valores de un ángulo α entre -2π y 2π. Para cada valor de α, el ángulo del punto verde es -α - π/2. Así que su posición es (recuerda lo que hemos visto sobre las coordenadas polares): (r ; -α - π/2). Para ese mismo valor α, el punto blanco se desplaza en horizontal, a una altura r, la longitud del arco de rueda correspondiente: α r. Así que su posición es (α r, r). Por lo tanto, la posición del punto naranja es:
(α r, r) + (r ; -α - π/2)
Esta es la ecuación de la cicloide. Con GeoGebra, podemos representar los dos arcos mostrados de la curva como:
c(α) = (α r, r) + (r ; -α - π/2), -2π ≤ α ≤ 2π
o bien, usando el comando Curva:
Curva((α r, r) + (r ; -α - π/2), α, -2π, 2π)
En las siguientes actividades haremos uso de esta curva, pero invertida. Activa la casilla "Invierte" para verla. En la cicloide invertida, la posición del punto naranja viene dada, para el ángulo α, por:
(α r, r) + (r ; α + π/2)Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.