Pravilo
Kada provjeravamo pripada li neka točka koordinatnog sustava grafu realne funkcije, onda ispitujemo zadovoljavaju li koordinate točke stanovito pravilo zadano formulom, tj. vrijedi li . Ovdje nemamo provjeru takve vrste. Da bismo utvrdili pripada li neka točka kompleksne ravnine Mandelbrotovom skupu, podvrgavamo je iterativnom (lat. iterare - ponoviti) postupku.
Pravilo. Uzmemo neki kompleksni broj c. Kvadriramo ga i dodamo sam početni broj c; ono što dobijemo, opet kvadriramo i dodamo početni broj c; ono što dobijemo, opet kvadriramo i dodamo početni broj c, itd. Takav niz iteracija možemo iskazati formulama:
,
gdje je početna vrijednost . Ako takav niz iteracija 'odluta' u beskonačnost, onda za točku pridruženu broju c kažemo da ne pripada Mandelbrotovom skupu. Ako i nakon velikog broja iteracija vrijednost niza ne pokazuje tendenciju stalnog rasta po apsolutnoj vrijednosti ili se vrti u krug ili poprima ponovo iste vrijednosti, smatramo da točka pripada Mandelbrotovom skupu. Evo nekoliko primjera:- Niz raste u beskonačnost, točka ne pripada skupu.
- Niz ostaje ograničen, odnosno poprima uvijek iste vrijednosti što znači da točka pripada skupu.
- "Vrti se u krug", što znači da točka pripada skupu.
- . Ova točka nije jednostavna za računanje čak ni uz pomoć kalkulatora. Treba posegnuti za nekim računalnim programom. Može to biti i tablični proračun kao što je ovaj Geogebrin aplet. Upišite u žutu ćeliju neki svoj kompleksni broj, pritisnite tipku Enter i zaključite pripada li odabrani broj Mandelbrotovom skupu.
I računalo bi moglo stenjati!
Primijetit ćete da deset iteracija nije dovoljno da bi se utvrdilo hoće li neki niz ostati ograničen. Programeri obično postavljaju broj iteracija na nekoliko stotina, a korisniku daju mogućnost daljnjeg povećanja njihovog broja. Time se dobivaju precizniji obrisi Mandelbrotovog skupa, ali slika nastaje mnogo sporije. Inače, dovoljno je ispitivati samo dio ravnine između -2.5 i 1 po realnoj osi, odnosno od -1.5 do 1.5 po imaginarnoj osi. Utvrđeno je da čim modul nekog broja u iterativnom postupku prijeđe po vrijednosti broj 2, niz postaje neograničen. Obično se Mandelbrotov skup crta crnom bojom. Odakle ona 'šarolikost' u okolini skupa? Ako računalo utvrdi da niz iteracija postaje neograničen u k-tom koraku, dodjeljuje mu k-tu boju.