Caída por una esfera
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra El dominio del Tiempo.
Esta animación simula el movimiento de una masa cayendo por una superficie esférica en tiempo real, despreciando el rozamiento. La animación (casi) no hace uso de fórmulas (ni trigonometría ni ecuaciones de movimiento ni cálculo diferencial), solo realiza las variaciones necesarias en los vectores que dirigen el movimiento.
Una masa, representada por el punto azul M, se encuentra en la parte superior de una esfera de radio r (que incluye la distancia del centro de masas a la superficie esférica), es decir, en su semiesfera superior. La animación varía en cada instante tanto el vector velocidad v (en rojo) como la posición M de la masa, debido a la acción de la gravedad, cuya aceleración constante está representada por el vector g (en línea verde discontinua).
El movimiento seguido por M se compone de dos tramos. En el primero (que llamaré tramo1), cae por la circunferencia de la esfera en un movimiento circular (acelerado). Es el movimiento que seguirá el punto MM en el guion del deslizador anima. En el segundo tramo, se despega de la superficie esférica para pasar a un movimiento de caída libre con la velocidad inicial que tenga en el instante de separación.
El vector g se puede descomponer como suma de dos: uno tangente a la esfera, gt, y otro perpendicular a él, gn. Este último vector no interviene en el movimiento, como hemos visto en la actividad anterior del plano inclinado, pero es clave para determinar en qué punto la masa se despega de la esfera y diferenciar así ambos tramos. Esto es todo lo que necesitamos para escribir el guion del deslizador anima.
Recuerda que, tal como hemos visto en la actividad de la aceleración centrípeta del MCU, para que la masa no se despegue de su recorrido circular es necesario aplicar una aceleración mayor o igual que esa aceleración centrípeta, cuyo módulo valía v2/r, siendo v la velocidad tangencial. La condición entonces para permanecer en el tramo1 es:Cuando el módulo de gn sea menor que el de la aceleración centrípeta, esa componente de la gravedad será insuficiente para mantener a la masa pegada a la esfera, así que esta abandonará el movimiento circular para iniciar, en un segundo tramo, un movimiento de caída libre con velocidad inicial igual a la que llevaba en el momento de despegarse.
En la construcción, hemos centrado la esfera en el origen de coordenadas. Puedes colocar la posición inicial en cualquier punto del arco del primer cuadrante.
- Nota: En realidad, ese arco no corresponde a 90º, sino a 89.99º. El motivo es impedir que elijas 90º como posición inicial (el "polo norte" de la esfera), ya que en tal caso la masa estaría en equilibrio (inestable), pues gt sería nula y no comenzaría el movimiento.
- Nota: Para demostrarlo, activa la casilla Esquema. La masa ha descendido una altura h desde su posición inicial, situada a una altura h0. Observa que el triángulo rectángulo amarillo, de hipotenusa |g| y cateto |gn| es semejante al verde, de hipotenusa r y cateto h0−h. Así que |gn|/|g| = (h0−h)/r. Sabemos que, en el momento de despegarse, se ha de cumplir |gn| = v2/r. Además, como el módulo de la velocidad (recuerda que es la misma que en la caída libre) era tenemos que |gn| = 2 |g| h/r, es decir, |gn|/|g| = 2h/r. Igualando las dos igualdades anteriores, (h0−h)/r = 2h/r, de donde h = h0/3.
GUION DEL DESLIZADOR anima
# Calcula los segundos dt transcurridos; para ello, suma un segundo si t1(1) < tt
Valor(tt, t1(1))
Valor(t1, Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt, (t1(1) < tt) + (t1(1) − tt)/1000)
# Mueve MM y M (r es la distancia del centro de M al centro de la esfera)
Valor(tramo1, abs(M) < r)
Valor(v, Si(tramo1, vt + dt gt, v + dt g))
Valor(MM, MM + dt v)
Valor(M, Si(tramo1, MM, y(M + dt v) > 0, M + dt v, Interseca(Recta(M, M + v), EjeX)))
IniciaAnimación(anima, y(M) > 0)
Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.