Füllkurve eines Kegels
Problemstellung
In einen kegelförmigen Behälter wird Wasser mit einer konstanten Zuflussmenge c pro Zeiteinheit eingefüllt. Der Kegel hat den Radius R und die Höhe H.
Berechne, wie sich die Füllhöhe h im Lauf der Zeit t ändert.
Lösung
Das eingefüllte Wasser bildet ebenfalls einen Kegel mit Radius r und Höhe h.
Es gilt die Beziehung:
Das Volumen des eingefüllten Wassers kann folgendermaßen berechnet werden:
Die Änderungsrate des Volumens ist konstant und entspricht der Zuflussmenge c pro Zeiteinheit:
Daraus berechnet sich die Änderung der Höhe h mit der Zeit t:
Diese Differentialgleichung kann durch Trennung der Variablen gelöst werden (mit dem Anfangswert h(0) = 0).
Die Anhängigkeit der Höhe h von der Zeit t wird durch eine Wurzelfunktion (3. Wurzel) beschrieben.
Aufgabe
Verändere die Werte für den Radius R, die Höhe H des Kegels oder die Zuflussmenge c pro Zeiteinheit.
Wie lange braucht es, um den Kegel mit R = 1, H = 3 und c = π zu füllen?
Wie lange dauert es, bis der Kegel gefüllt ist, wenn der Radius R verdoppelt wird? Begründe deine Antwort im Detail.