Beweis des 1. Strahlensatzes (kommensurable Strecken)
- Autor:
- Andreas Vohns
Der Beweis folgt der Beweisidee aus: KIRSCHE, Peter; WELLSTEIN, Hartmut: Elementargeometrie – Eine aufgabenorientierte Einführung. Wiesbaden: Vieweg u. Teubner, 2009.
Gegeben:
Die Strahlen und werden in den Punkten bzw. von der Geraden und in den Punkten bzw. von der Geraden geschnitten.
Zu zeigen:
Wir beginnen den Beweis mit und verallgemeinern dann auf beliebige kommensurable Streckenverhältnisse (Brüche).
1. Schritt:
Aktivieren Sie im Applet die Hilfslinien.
Es handelt sich um die Parallele zu durch den Punkt und die Parallele zu durch den Punkt .
Überlegen Sie: Welche Eigenschaft haben die entstehenden Teildreiecke.
(Für die Lösung herunterscrollen).
2. Schritt:
Aktivieren Sie die Beweisfigur.
Die grünen und roten Winkel sind jeweils Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen, also jeweils gleich groß.
Die violetten Strecken sind parallele Strecken zwischen parallelen Geraden, also gleich lang.
Damit sind die beiden gelben Dreiecke kongruent nach WSW.
Damit teilt die Strecke im Verhältnis 1:1.
Es gilt also auch . qed
3. Schritt:
Setzen Sie den Schieberegler n auf einen anderen Wert, z.B. 4.
Es wird ein zweiter Schieberegler m sichtbar, auch diesen können Sie ändern.
In der Beweisfigur werden jetzt weitere gelbe Dreiecke sichtbar.
Alle diese gelben Dreiecke sind zueinander kongruent (WSW, selbes Argument wie oben).
Mit einem ähnlichen Argument wie in Schritt 2 lässt sich zeigen, dass weiterhin
gelten muss.
Man setzt hierzu die Anzahl der farbig markierten kongruenten Dreiecke links von der Geraden zur gesamten Anzahl farbig markierter kongruenter Dreiecke ins Verhältnis.
4.Schritt:
Überlegen Sie, inwiefern sich der Beweis auf den 2. Strahlensatz erweitern lässt.
Beachten Sie:
Für eine Verallgemeinerung auf inkommensurable Streckenverhältnisse (irrationale Zahlen) wird ein Stetigkeitsargument (Intervallschachtelung) benötigt.