Noções e Proposições primitivas

1. Noções Primitivas

A Geometria Plana estuda os pontos e os conjuntos de pontos (reta, semi-reta, segmento, plano, círculo, circunferência e/ou as figuras geométricas planas).

A linguagem LÓGICA é usada nos textos matemáticos, assim ocorre o emprego contínuo de conceitos que por sua vez, os consideramos conhecidos depois que são definidos e as suas propriedades são consideradas verdadeiras depois que demonstradas. Todavia, se faz necessário estabelecer um início conceitual, no qual se constrói todo o conhecimento da Geometria Plana. Logo, adotamos alguns conceitos sem definição, ou seja, os CONCEITOS PRIMITIVOS, onde todos os outros, a partir deles, são definidos. Isso é necessário para que essa teoria tenha uma finalidade prática, onde pela simplicidade dos conceitos primitivos, todas as pessoas possam ter o mesmo significado, sem que façam definição. O PONTO é um conceito fundamental da Geometria Plana, de onde todos os demais entes se derivam, ou seja: a reta, a semi-reta, o segmento, o plano. o círculo, a circunferência e/ou as figuras geométricas planas. Você já imaginou um ponto? Como é um ponto? Podemos fazer um Ponto? Na realidade, nós construímos representações de ponto ou de um ponto. Observe:

1. O átomo e as suas partículas

1. O átomo e as suas partículas

2. Os grãos de areia

2. Os grãos de areia

3. As estrelas, numa noite estrelada

3. As estrelas, numa noite estrelada

4. Uma bolinha preta numa folha de papel

4. Uma bolinha preta numa folha de papel
É importante ter em mente que a ideia de ponto NÃO PODE SER MATERIALIZADA, ou seja, o ponto não tem dimensão, espessura, massa ou que possa ser subdividido. Assim, não há na Geometria uma definição conceitual de ponto, mas espera-se que todas as pessoas imaginem a mesma coisa quando leêm a palavra "PONTO", sem a necessidade de uma definição. Concluindo: PONTO É UM CONCEITO PRIMITIVO!

RETA e PLANO são dois CONCEITOS PRIMITIVOS que são fundamentais na Geometria. A ideia de uma reta pode ser sugerida por um fio esticado e a ideia de plano, pela tela de um celular, tela de uma TV ou, ainda, a superfície ou o tampo de uma mesa. Porém, o fio esticado terá COMEÇO e FIM e a mesa suas beiradas, e, ambos, têm a sua espessura. Lembrando que, para materializarmos as ideias de reta e plano, seriam necessárias coisas/objetos sem espessura e que se estendessem infinitamente. É lógico, que só podemos imaginar a existência dessas coisas. Então, concluímos:

RETA E PLANO SÃO CONCEITOS PRIMITIVOS!

1. Uma reta, estrada.

1. Uma reta, estrada.

2. Um fio de primo

2. Um fio de primo

3. Você consegue ver representação de retas, na imagem abaixo?

3. Você consegue ver representação de retas, na imagem abaixo?

4. O tampo da mesa. Uma representação de um plano.

4. O tampo da mesa. Uma representação de um plano.

Reta "r"

Plano alfa

Usualmente, são adotados como representações gráficas de reta e plano os desenhos abaixo:

Retas "s" e "t"

Retas "s" e "t"

Plano alfa

Plano alfa

Deve-se imaginar que a linha das retas "s" e "t" se prolongam em ambos os sentidos, como sugerem as setas e que a figura de baixo mostra penas uma parte/porção/pedaço do plano, o qual, na realidade, não tem esse contorno. As retas são indicadas por letras latinas minúsculas (a, b, c, ...) e os planos, por letras gregas minúsculas (, , ,...).

2. Proposições Primitivas

As proposições (propriedades, afirmações) geométricas são aceitas mediante demonstrações. As proposições primitivas ou postulados ou axiomas são aceitos sem demonstração. Iniciaremos a Geometria Plana com alguns postulados relacionando o ponto, a reta e o plano.

POSTULADO DA EXISTÊNCIA a) Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos. b) Num plano há infinitos pontos. A expressão "infinitos pontos" tem o significado de "tantos pontos quanto quisermos". A figura abaixo indica uma reta "r" e os pontos A, B, P, R, S e M, sendo que: - A, B e P estão em "r" ou a reta r" passa por A, B e P, ou ainda, A r, B r, P r; - R, S e M não estão em "r" ou "r" não passa por R, S e M, ou ainda R r, S , M r.

Posições de dois pontos e de ponto e reta

Dados dois pontos A e B, de duas uma: ou A e B são coincidentes (é o mesmo ponto, com dois nomes: A e B) ou A e B são distintos. (A B, logo A = B ou A e B, no caso A B).
Dados um ponto e uma reta "r", de duas uma: ou o ponto P está na reta "r" (a reta "r" passa por P, ou seja, P r) ou o ponto P não está na reta "r" (a reta "r" não passa por P. Assim, P r).

Pontos colineares (alinhados), não colineares (não alinhados) e coplanares

Dois ou mais pontos são colineares se todos eles pertencem a uma mesma reta. Dizemos, também, que esses pontos estão alinhados. Caso contrário, eles são não colineares ou estão não alinhados. Pontos coplanares são pontos que pertencem ou estão num mesmo plano.

POSTULADO DA DETERMINAÇÃO a) Da reta Dois pontos distintos determinam uma única (uma, e uma só) reta que passa por eles. Podemos dizer, também, que: dados dois pontos distintos A e B, existe uma única reta "r" tal que A r B r. Pode-se afirmar, ainda, que: dois pontos distintos determinam completamente uma reta, à qual ambos pertencem. Ou, então, por dois pontos distintos passa uma única reta. Tais afirmativas são formas de expressar a mesma coisa. Em símbolos, temos: A B r (A r e B r) o que se lê: se A é distinto de B, então existe uma única r, tal que A pertence a r e B pertence a r.
É importante ressaltar que, para caracterizarmos uma reta, podemos tomar sobre ela qualquer par de dois pontos distintos.
b) Do plano

Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles. Podemos dizer, também, que: dados três pontos A, B e C não colineares, existe um único plano tal que A e B e C . Existem, ainda, as seguintes formas: Três pontos não alinhados determinam completamente um plano, ao qual eles pertencem e, outra forma é: por três pontos não colineares passa um único plano. Simbolicamente, representamos por:

A, B, C não alinhados (A e B e C )

O plano determinado pelos pontos A, B e C pode ser indicado por pl (ABC), ou pl (ACB), ou pl (BCA), etc, indiferentemente. Quando apoiamos no chão um tripé, observamos que o aparelho obtém uma posição estável, mesmo se o terreno for irregular. O contrário ocorreria se fosse uma mesa ou cadeira com quatro pés, pois há a possibilidade de não ter estabilidade (mancar). Num piso bem plano, três pés da mesa ou da cadeira vão ficar apoiados: o quarto pé poderá ou não pertencer ao plano determinado, pelos outros três. Desta forma, tem-se uma materialização da ideia de plano deste postulado.

Image

Plano em 3D, no Geogebra

POSTULADO DA INCLUSÃO

Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então a reta está contida nesse plano. Outra forma de anunciar esse postulado é: se dois pontos distintos A e B de uma reta r pertencem a um plano , então todos pontos dessa reta pertencem a .

[size=85]Se encostarmos dois pontos A e B de uma régua sobre a superfície da mesa, todos os pontos da régua ficarão encostados na mesa.[/size]
Se encostarmos dois pontos A e B de uma régua sobre a superfície da mesa, todos os pontos da régua ficarão encostados na mesa.

Simbolicamente, escrevemos: (A B, A , B ) r . Vale salientar que a reta r é um conjunto de pontos, logo é um subconjunto do plano .

Observação: a) Pontos coplanares: são pontos que pertencem a um mesmo plano; b) Figura: é qualquer conjunto de pontos; c) Figura plana: é uma figura que tem todos os seus pontos num mesmo plano; e d) A Geometria Plana estuda as figuras planas.
Retas concorrentes a) Definição Duas retas são concorrentes se, e somente se, elas têm um único ponto comum, ou seja, são duas retas que têm na interseção um único ponto.
b) Existência

Usando o postulado da existência, tomemos uma reta r, um ponto P em r (P r) e um ponto Q fora de r (Q r). Os pontos P e Q são distintos, pois um deles pertence a r e o outro não. Usando o postulado da determinação, considerando a reta s determinada pelos pontos P e Q. As retas r e s são distintas, pois se coincidissem o ponto Q estaria em r (e ele foi construído fora de r), e o ponto P pertence às duas. Logo, r e s são concorrentes.