Geometrie mandorly
Mandorla
Mandorla (z italštiny = mandle) je ve výtvarném umění aureola či svatozář, která obepíná celou postavu, nejčastěji Krista. Je tvořena dvěma kruhovými oblouky, jako průsečík dvou kruhů s hroty nahoře i dole, takže opravdu připomíná tvarem mandli. (Může být ale také oválná nebo elipsovitá.)
https://cs.wikipedia.org/wiki/Mandorla
https://en.wikipedia.org/wiki/Mandorla
Můžeme říci, že mandorla je vlastně tvořena dvěma gotickými lomenými oblouky, které vidíme v gotické architektuře všude -- u dveří i oken. Gotický oblouk dostaneme pomocí dvou překrývajících se kružnic se stejným poloměrem. Tvar oblouku (a tedy i mandorly) závisí na tom, jak blízko jsou k sobě středy kružnic. To si můžeme vyzkoušet v následujícím apletu.
Zde je šířka mandorly pevná (úsečka AB -- můžeme si také představovat, že je to pevně daná šířka okna nebo dveří) a její výšku měníme posouváním středu jedné z kružnic S_2.
Co jsme vypozorovali z apletu?
- Splývá-li S_1 se středem O základny AB, dostáváme mandorlu v podobě kružnice (resp. obyčejný nelomený kruhový oblouk). Rovnoramenný trojúhelník ABC je pravoúhlý, jeho ramena jsou kratší než základna AB.
- Pro S_1 mezi O a B: Rovnoramenný trojúhelník ABC již není pravoúhlý, jeho ramena jsou stále kratší než základna AB. Posouváním S_1 doprava s měrem k bodu B má mandorla čím dále tím protaženější tvar. Příslušnému lomenému oblouku se říká snížený (oproti následujícímu případu).
- Pro S_1 = B se stává trojúhelník rovnostranným -- dostáváme speciální případ mandorly, obrazec, který se nazývá vesica piscis (viz dále). Středy kružnic splývají s vrcholy základny AB. Příslušnému lomenému oblouku se říká základní.
- Pro S_1 vpravo od B má již trojúhelník ABC ramena delší než je základna AB. Mandorla je již poměrně štíhlá a hodí se spíše pro stojící než sedící postavu. Příslušnému lomenému oblouku se říká zvýšený (oproti předchozímu případu).
Geometrie mandorly na mozaice Poslední soud
V apletu níže je rekonstrukce kompozičního řešení Mandorly na mozaice Posledního soudu. Ukazuje se, že je tvořena, sníženými lomenými oblouky -- tedy pozor, není to obrazec vesica piscis, trojúhelník ABC není rovnostranný, ale je nižší. Přitom se jedná o poměr r/|AB| = 3/4 (v apletu Kristus 1).
Srovnej s jiným Kristem (Evangeliář ze Špýru, kolem 1220 -- v apletu Kristus 2), kde vidíme mandorlu právě ve tvaru obrazce vesica piscis (poměr r/|AB| = 1/1).
Speciální případ Mandorly -- vesica piscis
Již víme, že jsou-li středy kružnic ve vrcholech základny, je trojúhelník ABC rovnostranný, příslušný lomený oblouk se nazývá základní a mandorla se potom nazývá vesica piscis.
Dle anglické Wikipedie (https://en.wikipedia.org/wiki/Vesica_piscis) to znamená v překladu "rybí měchýř". (Ve 3D vzniká míč na americký fotbal -- těleso nazývané lemon).
Obrazec vesica piscis (viz aplet výše -- odškrtni první tři zaškrtávací políčka) je nám povědomý -- je základem 1. tvrzení I. knihy Eukleidových základů, což je vlastně návod na konstrukci rovnostranného trojúhelníka!
Zdá se, že velká část mandorl spojených s Kristem je (na rozdíl od té naší na Sv. Vítu) právě v tomto tvaru.
Současně to vypadá, že pojem mandorla bývá často ztotožňován s tvarem vesica piscis, přestože
1) geometricky je tvar vesica piscis jen speciální případ nekonečné množiny mandlí (čoček) s různými poměry r/|AB|.
2) Jak dokládá tento článek, pojem mandorla je mnohem starší než vesica piscis (prý ho zavedl Albrecht Dürer) pojem mandorla má význam duchovní, odkazující na Božský majestát Krista, kdežto vesica piscis je jen profánní technický pojem pro jistý geometrický tvar.
Vesica piscis se často vyskytuje i v moderní architektuře:
https://rdcu.be/dhAta
https://vocal.media/geeks/the-fascinating-iconography-of-vesica-piscis
Vesica piscis jako vaginální symbol
https://ruor.uottawa.ca/handle/10393/6133 ((str. 80 a další):)
https://www.academia.edu/1881477/THE_MIGRATING_SYMBOL_VESICA_PISCIS_FROM_THE_PYTHAGOREANS_TO_THE_CHRISTIANITY
https://brnensky.denik.cz/zpravy_region/srdce-na-radnici-vagina-i-svatozar20080512.html
