Collatz után szabadon (8.)
- Szerző:
- Tarcsay Tamás
- Témák:
- Sorozatok és sorok
Vizsgáljuk a következő rekurzióval adott sorozatokat!
, ha an páros
an+1=3an+1, ha an páratlan
A következő aplettel vizsgálhatók a sorozatok különböző első tagok esetében.
A tapasztalat az, hogy bármely pozitív egész számot választjuk a sorozat első tagjának, mindegyik sorozatnak tagja az 1.
Ezt a sejtést Lothar Collatz fogalmazta meg 1937-ben. A sejtést azóta sem sikerült bizonyítani.
Az érdekes az, hogy egy nagyon egyszerű eszközökkel megfogalmazott sejtés, a bizonyítása nagyon nehéz.
Szórakoztató játék lehet más - hasonló - rekurziókkal definiált sorozatok vizsgálata. Az alábbi GeoGebra aplettel olyan sorozatok vizsgálhatók amelyek rekurziója páros esetre egyezik a Collatz-féle definícióval.
Ha a definíciót így változtatjuk:
an+1=3an-1, ha an páratlan,
akkor az alábbi gráf mutatja, hogy melyik számot melyik szám követi a sorozatban,
Sejtés
Ha a definíciót így változtatjuk:
an+1=3an+3, ha an páratlan,
akkor úgy tűnik, hogy bármely első tag esetén a sorozatnak tagja a 3.