PASCAL-Schnecken sind auch nur Kegelschnitte
- Autor:
- Walter Füchte
- Thema:
- Kegelschnitte, Konstruktionen, Ellipse, Hyberbel, Parabel, Ebene Figuren, Spiegelung
(10.02.2019) Dieses Arbeitsblatt ist Teil des Geogebrabooks Kegelschnitt-Werkzeuge
Invertiert man PASCAL-sche Schnecken mit der angegebenen Gleichung am Einheitkreis, so erhält man einen Kegelschnitt. Der Parameter a bestimmt den Kegelschnitt-Typ. Die Konchoiden-Eigenschaft der PASCALschen Schnecken: die Ursprungsgeraden schneiden die PASCALsche Schnecke in 2 vom Ursprung verschiedenen Punkten P und P'. Die Ursprungsgerade schneidet den x-achsensymmetrischen Kreis durch den Urprung und die Mitte der beiden Kurvenscheitel auf der x-Achse in einem ebenfalls vom Ursprung verschiedenen Punkt Q. Der Abstand von Q zu P bzw. zu P' ist konstant, im Applet beträgt der Abstand 1 Längeneinheit. PASCALsche Schnecken gehören also zu den allgemeinen Konchoiden (wikipedia). Wir haben für die limaçons de Pascal einen schwarzen Hintergrund gewählt, da nach Wikipedia die "Schatten von rotierenden schwarzen Löchern mit sehr hoher Genauigkeit" durch PASCALsche Schnecken beschrieben werden können. Vielleicht besteht ein Zusammenhang darin, dass durch Kegelschnitte die Überlagerung kreisförmiger Wellenbewegungen beschrieben werden können: Betrachtet man z.B. die konzentrischen Kreise um die Brennpunkte einer Ellipse, so erhält man 2 elliptische Kreisbüschel, als Quellen dieser Kreisbewegungen kann man die endlichen Brennpunkte ansehen, beide Wellenbewegungen enden in , der ein doppelt-zählender Brennpunkt der Ellipse ist. Durch fast jeden Punkt der Ebene geht aus jedem der beiden Kreisbüschel genau ein Kreis und eine Ellipse mit denselben Brennpunkten. Diese Ellipse ist Winkelhalbierende der beiden Kreise, sie kann also als Überlagerung der beiden Wellen aufgefaßt werden. Gespiegelt am Einheitskreis ist der Ursprung der doppelt zählende Brennpunkt der zugehörigen PASCALschen Schnecke, also gewissermaßen ein schwarzes Loch!