Kuvvetler Farkının Kanıtı ve Polinomlara Uygulanım Örneği
Lise yıllarımızdan beri
eşitliklerini biliriz. Bu yazıda yukarıdaki eşitliklerin genel hali olan kuvvet farkına eşit olan cebirsel ifadeyi tanımlayıp, kanıtını göstereceğiz. Bulduğumuz sonucu katsayıları tamsayı olan polinomlar üzerine uygulayıp bu tip polinomlara dair güzel bir çıkarım elde edeceğiz. Önce genel form için eşitliğimizi yazalım:
Teorem: Her için,
eşitliği kanıtlayalım.
Kanıt: ifademizi toplam sembolü kullanarak derleyelim:
olacaktır. Sırasıyla ve ile çarpıp açalım,
birinci toplamdan ilk terimi, ikinci toplamdan son terimi ayıralım:
toplam sembollerinin sınırlarını eşitleyelim,
,
Aşağıda verilen işlemler yapılırsa:
olur kanıt tamamlanmıştır.
Böylece, her ve tamsayıları için, sayısının sayısını böldüğünü söyleyebiliriz.
Şimdi ilk uygulamamızı yapalım; katsayıları tamsayı olan bir polinomu için sayısının sayısını böldüğünü kanıtlayalım.
Teorem: katsayıları tamsayı olan bir polinom olmak üzere;
her ve sayıları için,
sayısı sayısını böler.
Kanıt: Önce polinom hatırlatması yapalım:
olarak olarak ifade edilen yapılara polinom denir. sayıları polinomun katsayılarıdır.
ve sayılarını polinomda yerlerine yazarak başlayalım:
toplam sembolü ile derleyelim,
ve
olur. Şimdi bu iki sayının farkını alalım:
Yukarıdaki teoremden; her ve sayıları için, sayısının sayısını böleceğini bulduk.
Toplamımızı oluşturan terimlere bakıldığında
her için, olduğundan
sayısı sayısını böler. Yani,
olur kanıt tamamlanmıştır.
Bulduğumuz sonuç ve Güvercin Yuvası İlkesinin harmanlandığı bir örnekle yazıyı sonuçlandıralım.
Örnek: katsayıları tamsayı olan bir polinom olsun. Her için, eğer eşitliğini sağlayan üç tamsayı varsa eşitliğini sağlayan bir tamsayı olmadığını gösterin.
Çözüm: , ve şartını sağlayan üç tamsayı olsun. Yani,
olarak seçilsin ve olsun. Bu durumda yukarıda elde ettiğimiz çıkarımlardan;
olarak yazabiliriz. Öyle ise , ve sayıları 'e ya da 'e eşit olmalı. Bu durumda üç sayıdan en az ikisi birbirine eşit olmalıdır.
[Güvercin Yuvası İlkesi, Gauss]
Buradan da , , ve sayılarından en az ikisinin eşit olması gerektiği çıkar. böylece çözümümüz tamamlanmıştır.
Bu yazının konusu Ali Nesin'in "Sayma" isimli kitabında bulunan okuyucuya yöneltilen problemlerden alınmıştır (Syf. 8 Alıştırma 1.14 ve 1.15).
Bilal DEMİR Matematik Öğretmeni