Bac-m1-iunie-2018
Subiectul I
1. Determinați numărul complex z , știind că 2
z − z = 1 − 3i , unde z este conjugatul lui z . (N-am găsit bara de conjugare.)
Nu cred că ridică vreo provocare, acest ex., inocent.
Dacă z=x+iy, atunci, z =x-iy, iar 2 z − z = 2x - 2iy - x - iy = x - 3iy. Prin urmare x = 1 şi y = 1, sau z = 1 + i.
2. Se consideră funcția f : R → R , f ( x ) = x2 − mx + 1 , unde m este număr real. Determinați
numerele reale m , știind că vârful parabolei asociate funcției f se află pe axa Ox .
Grafi "cool" de mai sus, îl găseşte pe m = -2 şi 2.
Fără slide-ul din grafic, interpretarea algebrică a situaţiei "vârful parabolei să fie pe axa Ox" este: ecuaţia f(x) = 0 are rădăcină reală dublă, altfel spus x2 − mx + 1 trebuie să fie pătrat perfect, iar de aici la x2 − 2x + 1 = (x-1)2, sau x2 − (-2)x + 1 = (x+1)2, nu e decât un mic "pas" (ca la mers, nu ca la bridge). Discriminantul, , este zero (fiindcă doar aşa rădăcinile coincid), pentru m = -2 şi 2.
O altă variantă, ar fi pentru cei ce mai ştiu (la mine nu e cazul) coordonatele vârfului parabolei, . De aici ne interesează, y-ul, adoua componentă, care, după cum se vede este zero (vârful pe Ox) doar dacă discriminantul e zero şi am ajuns din nou la Roma.
Varianta cu derivata o las cunoscătorilor.
3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia .
Argumentul logaritmului trebuie să fie pozitiv, ceea ce impune x > 0. Asta ne rezolvă şi nepăcerea cauzată de anularea numitorului fracţiei din stânga, pentru x = -1.
Cu această restricţie asupra lui x, rescriem ecuaţia astfel, , sau încă
, ceea ce revine la a cere x2 = x+2. Asta se întâmplă, pentru
x1,2 = , cum s-ar zice, x1 =-1 < 0 (nu e de interes) şi x2 = 2, care ar fi mers şi la ghiceală, nu?
4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele distincte și impare.
Asta e sarcină de clasa a V-a.
Cazuri posibile: toate numerele naturale de două cifre, sau de la 10 la 99 sunt 99 - 9 = 90.
Cazuri favorabile: doar acele numere, de la 10 la 99, care au cifrele impare (1, 3, 5, 7, 9) şi diferite, 13, 15, 17, 19, la fel zecile 3, 5, 7, 9, tot câte patru variante, de toate, fiind 5 x 4 = 20.
(Dacă preferaţi altă numărătoare, luaţi elementele produsului cartezian,
{1, 3, 5, 7, 9}x{1, 3, 5, 7, 9}, fără elementele cu componente egale, dar asta e pentru specialişti.)
Proba Bilitatea cerută = .
5. În reperul cartezian xOy se consideră punctul A ( −5, 2 ) și dreapta d de ecuaț ie y = x + 1 .
Determinaţi ecuația dreptei care trece prin punctul A și este perpendiculară pe dreapta d .
Puţină geometrie analitică, nu strică.
Geogebra ne dă ecuaţia cerută, imediat, dar nu e accesibilă la bac (este foarte accesibilă, atât înainte, cât şi după).
Dacă două drepte, d şi f sunt perpendiculare, atunci pantele lor m şi respectiv m', sunt obligate să respecte relaţia . (Nu ştiu dacă e de bine, ori nu această relaţie, din alte puncte de vedere, dar matematic, este OK.)
În cazul nostru, m = 1, prin urmare panta perprndicularei, f, este m' = -1.
Ecuaţia unei drepte de pantă dată, m' şi constrânsă a trece print punctul A, este
y - yA = m' (x - xA), sau, înlocuind, y -2 = - (x -5), sau -x -y = 3, ca mai sus, nu neapărat ca în barem, pe care, apropo, încă nu l-am vizitat.
6. Arătați că , pentru orice număr real x .
Trigonometrie de buzunar.
, de unde se obţine diferenţa, 0.
Subiectul II
1. Se consideră matricea , și sistemul de ecuații , unde m este număr real.
a) Arătați că det ( M ( 0 ) ) = 2 .
b) Determinați numerele reale m , știind că det ( M ( m )) = 0 .
c) Pentru m = −1 , demonstrați că, dacă
( a, b, c )
este o soluţie a sistemului, cel mult unul dintre
numerele a , b și c este întreg.
Să meşterim determinantul matricii, cu ce metodă dorim, Sarrus, de exemplu:
det(M(m)) = .
Dacă m=0, abţinem răspunsul pentru a).
b) Graficul de mai sus, ne sugerează o rădăcină simplă în -1 şi una dublă în 0,5 (pentru scriere comodă). Fără grafic, să încerci valorile 1 şi -1, într-o expresie cu trei coeficienţi întregi, nu îmi pare un capăt de ţară, mai ales în lipsă de idei măreţe (cum ar fi să număr alternanţele de semn pentru a detecta existenţa rădăcinilor reale, după regula lui Descartes, dar...).
Aflăm astfel, că det(M(-1))= 8(-1)3 - 6(-1) + 2 = 0 şi prin urmare avem o primă rădăcină a ecuaţiei date. Asta înseamnă, că pot pune în evidenţă factorul (m+1) în expresia .
Avem,
.
Pe cale de consecinţă, rădăcinile ecuaţiei det(M(m)) =0 , aka , sau , sunt
m1 = -1 şi m2 = m3 = 0,5.
Nu pot merge mai departe, fără a povesti cum am descompus, expresia, la prima vedere, ca în zicerea "Crazy în dragoste la prima vedere, sau mai trec odată? ".
.
c) Pentru m= -1, sistemul are determinantul 0. Va trebui, comparăm rangul matricii sistemului, cu cel al matricii extinse. Dacă sunt egale, avem soluţii, altfel, nu avem.
Matricea , are rangul 2, având determinantul 0 şi un minor de ordin 2 (dacă nu chiar toţi, dar ajunge unul) cu determinant nenul.
Matricea extinsă , are tot rangul 2, având toţi minorii de ordin 3 cu determinant 0 şi minori de ordinul 2 cu determinant diferit de 0. Aleg primele două ecuaţii şi le rezolv în x şi y, obţinînd,
,
. Aceste formule ne spun că x şi z, respectiv y şi z, componente ale soluţiei sistemului, nu pot fi simultan numere întregi. Din a doua ecuaţie, avem x - y = y - z ( = 1/3) şi prin urmare nici x şi y nu pot fi simultan numere întregi. Altfel spus, orice soluţie a sistemului dat (şi are soluţii, destule), conţine cel mult un numîr întreg, printre componente.
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă
x ∗ y =
a) Demonstrați că x ∗ y = , pentru orice numere reale x și y .
b) Determinaţi numărul real x pentru care x ∗ x ∗ x =
c) Determinaţi numerele reale a, știind că , pentru orice numere reale x și y ,
f(x) * f(y) = f(x + y), unde f : R → R , f ( x ) = .
a) strigă după ajutor, "Desfaceţi-mi parantezele!"
Dacă nu credeţi, puteţi încerca manual.
b) Să vedem cum arată ecuaţia.
Avem o ecuaţie de gradul trei, cu coeficienţi întregi, pozitivi, musai trebe să fie o soluţie raţională, negativă. Termenul liber este prim, ceea ce reduce numărul posibiliţăţilor, în favoarea noastră. Putem avea
, sau
, cu a, b, c numere naturale.
Hai că nu-i aşa de greu, doar ceva de lucru. Din identificarea coeficienţilor în prima variantă, obţinem,
Cum -1 nu e soluţie, pentru ecuaţie, aleg a = 2, obţin b = 16 şi c = 28.
Avem o soluţie, x1 = 0,5.
Rezolzând ecuaţia , obţinem şi celelalte două rădăcini complexe,
x2,3 =.
Pentru varianta a doua, obţinem,
Din a treia relaţie, rezultă că 54 - a e multiplu de 13. a poate fi 2, 2+13, 2+26, sau 2+39, iar din prima relaţie, rămâne doar a = 2. Avem c = 4 şi 13b = 72 - 8, ceea ce nu se poate în mulţimea numerelor naturale.
c) Dezvoltăm relaţia impusă funcţiei f.
După calcule consistente, obţinem ecuaţia lui a, , iar de aici valorile lui a, anume, 0 şi 0,25,
Subiectul III
1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → R , f ( x ) = 8x2 − ln x .
a) Arătaţi că f'(x) = .
b) Demonstrați că punctul A aparține tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă
x = 1 , situat pe graficul funcţiei f .
c) Demonstrați că .
a) e fără probleme, f'(x) = , iar de aici cu diferenţa de pătrate, obţinem forma cerută.
b) Tangenta la grafic în punctul (1, f(1)) = (1, 8), are panta m = f'(1) = 15, iar ecuaţia ei este,
y-8 = 15(x-1). Să verificăm apartenenţa punctului A.
, ceea ce devine -5 = -5. Q.E.D.
c) O variantă ar fi să comparăm direct valorile cerute. Aleg varianta de rezervă, monotonia unei zile de vară, caniculară, fără bere rece.
f' are un 0 în 0,25, e negativă până în 0,25 şi pozitivă după, altfel spus pe intervalul (0,25 ;+∞) este strict crescătoare şi cu asta basta, pentru că , deoarece .
2. Se consideră funcţia f : ( −3, +∞ ) → R , f ( x ) = .
a) Arătaţi că
rez: .
b) Arătaţi că
rez: .
c) Pentru fiecare număr natural n , se consideră numărul . Demonstrați că , pentru orice număr natural n , n ≥ 1 .
rez: . Folosind integrarea prin (nu din) părţi, obţinem,
. Cum integrala din dreapta este In-1 , după efectuarea calculelor obţinem relaţia cerută, pentru orice număr natural n , n ≥ 1 .
Ca o notă de final, a fost o ofertă lucrabilă (şi fără Geogebra), destul de lucru, dar, cred că trei ore permiteau finalizarea în bune condiţiuni (subiectul III, n-a avut nimic abscons, a fost standard, acum, ştiţi cum se zice, fiecare cu standardele lui). Ecuaţiile au fost OK, doar II.1.c mi-a amintit că am uitat teorema lui Kronecker-Capelli şi pe cale de consecinţă, aş fi ratat rezolvarea, în condiţii reale.
Vă doresc note mari şi împlinirea alegerilor în continuare.
P.S. Dacă aţi găsit greşeli, felicitări, oricum nu intenţionam să iau bac-ul cu 10. (Apropo de bara de conjugare, arată c-am aşa ).
Atât s-a putut.
More ...(2020)
Bunica & Co.