Área independiente de P
Dado un paralelogramo ABCD y un punto P cualquiera, se trazan los simétricos de P respecto de los cuatro lados del paralelogramo, obteniéndose el cuadrilátero EFGH. Probar que el área de EFGH es constante, independientemente de la posición de P.
Las diagonales del cuadrilátero EFGH son dobles que las alturas del paralelogramo ABCD, y el ángulo que forman es el mismo que los lados de ABCD, puesto que sus lados son mutuamente perpendiculares.
El área del cuadrilátero EFGH es la mitad de la del paralelogramo IJKL determinado por las paralelas por sus vértices a sus diagonales (dicho de otra forma, el área de un cuadrilátero es igual a la mitad del producto de sus diagonales por el seno del ángulo que forman). Y la forma y tamaño de este paralelogramo solo depende del ABCD, y no de la posición de P.
Si el punto P es interior a ABCD, el cuadrilátero es EFGH es convexo.
Si P es exterior, pero se encuentra en una de las franjas limitadas por las paralelas a uno de los lados de ABCD, EFGH es cóncavo, pero no cruzado.
Si P se encuentra en el exterior de ABCD en uno de los ángulos convexos determinado por los lados del paralelogramo, EFGH es cruzado, y considerando áreas con signo, mantiene la misma área. Es decir, es la diferencia entre los dos triángulos en que se puede dividir por el punto en que se cortan dos de sus lados opuestos.