Eukleidovo odvození objemu jehlanu

Věta: Objem jehlanu je jednou třetinou objemu kvádru se stejnou podstavou i výškou. Obecný vztah mezi objemem jehlanu a kvádru odvodíme rozpadem kvádru na šest trojbokých jehlanů stejného objemu. Nejprve kvádr rozřízneme na dva trojboké hranoly stejných objemů a potom každý hranol rozdělíme na tři pravoúhlé trojboké jehlany. Na obrázku je ponechán červený trojboký hranol, druhá polovina je rozdělena na trojboké jehlany (žlutý, zelený a oranžový). My víme, že tyto jehlany mají shodné objemy, protože mají shodné podstavy a výšky, ale dokázat tuto větu není vůbec jednoduché. Démokritos z Abdér svou atomistickou teorií postupoval podle mnohem později formulovaného Cavalieriho principu, stejně jako Archimédés. Ale tyto úvahy byly (zřejmě na popud Platóna) považovány za nevědecké, a tak se řečtí matematikové snažili nalézt důkaz jinou cestou. Nás již dnes nepřekvapí, že jimi používaná exhaustivní metoda je jen jiným přiblížením k infinitesimálnímu počtu než Cavalierieho princip.

Důkaz rovnosti objemů jehlanů bez Cavalieriho principu

Nejprve je třeba dokázat, že dva rovnoběžnostěny, které mají shodnou podstavu a výšku mají i shodný objem (ggb). Poté již můžeme dokázat větu o shodnosti objemů jehlanů. Připomeňme Eukleidovo znění exhaustivní (vyčerpávající) metody, kterou pro důkaz věty využijeme. Jsou-li dány dvě nestejné veličiny a od větší odečteme její část větší než její polovina a od zbytku opět jeho část větší než jeho polovina a budeme tak činit stále, zbude nějaká veličina, jež bude menší než libovolná kladná veličina. Věta: Mají-li dva jehlany stejnou podstavu a výšku, mají i shodný objem. Na obrázku níže jsou dva jehlany o shodných základnách i výškách. Krok 1: Od každého jehlanu odebereme dle právě dokázané věty trojboké hranoly o stejném objemu. Zbydou nám dva jehlany, které jsou jistě menší, než společně "vyčerpaná" modrá část. Krok 2: Tyto jehlany opět pět rozložíme stejným způsobem. Zbývají nám na každém jehlanu čtyří malé jehlany, o jejichž objemech nic nevíme. Takto můžeme pokračovat dál, až je rozdíl menší než libovolně malé číslo.

Čínský důkaz

Další možností je názorný čínský důkaz, jenž je popsán v knize Devět kapitol matematického umění. Tato kniha pochází z přibližně stejné doby jako Eukleidovy Základy a v čínské matematice hraje i podobnou úlohu. Téměř každý čínský matematik do 20. století se na tuto knihu odkazoval. Významný čínský matematik Liu Huie (20–280) popisuje rozklad trojbokého hranolu na čtyřboký (žlutý) jehlan a trojboký(červený) jehlan – viz obrázek níže. Postupným doplňováním hranolů ukážeme, že objem žlutého jehlanu je dvakrát větší než objem červeného jehlanu. Odtud objem jehlanu je třetinou objemu hranolu se shodnou podstavou a výškou. Animace důkazu je zpracována v materiálu „Volume of Pyramid“ od uživatele Anthony OR.
Image

Užití Geogebra appletů pro výuku těles