単体と複体
単体を感じよう
単体
１．単体と複体
このワークシートはMath by Codeの一部です。
＜単体＞
CGの世界では、物体を作るときにポリゴン（多角形）を張り合わせて作ります。
一番単純なポリゴンは三角形ですね。
位相空間の物体は単純な部品、図形に分割することで調べやすくなる。
位相空間そのものも、単純な図形に分解することで調べやすくなるでしょう。
それぞれの次元で一番単純な図形を単体(simplex)といいます。
簡単のために「i次元単体のことをi単体」と呼ぼう。
（例）
０単体として点A
１単体として線分AB、
２単体なら三角形ABC、
３単体では三角錐（四面体）ABCD、……
とかですね。
では、単体の共通点は何でしょうか。
有限、
中がつまっている、
内部と外部の境界がある、
などです。
もっというと、食塩水の混合濃度のようなものです。
なんのことかわからないですよね。
３%と５%のこさの混合濃度は３から５まで変化します。
[3,5]という閉区間ともいえます。
３ｓ＋５ｔ( s+t=1 で０≦s, t ≦1) とかけますね。
混合濃度は３，５という濃さの点を基底として、その線形結合、一次結合です。
n単体は、その次元(n+1)の数だけ、頂点の位置ベクトルをとり、その線形結合となる図形です。
書きやすさと読みやすさとgeogebraの勝手な変換を避けるために
ベクトルをAとかくことにします。
点Aは０単体で sA
線分ABは１単体で sA+tB
三角形ABCは２単体で sA+tB+uC
四面体ABCDは３単体で sA+tB+uC+vD
(係数s,t,u,vは和が1で非負です。)
一般化すると、
ｎ＋１個の頂点ABCD....を並べて｜｜でかこってｎ単体を表します。
ｎ次元単体ABCD.....は ΣkiAi ( Σki=0, 0≦ki≦1）と一次結合でかけます。
このように、非負の係数をつけた1次結合を凸図形とかなどといったりするね。
・単体の面
単体の次元は頂点の数で決まります。
だから、単体から1頂点をぬくと、次元が１つ下がります、これを面(face）といいます。
単体が何次元でも、面は単体の境界部分、はしです。
ｎ単体の１つの面はn-1次元だから、(n-1)次面とかいたりする。
（例）
３単体の四面体ABCDの面は点を4通りとれるから、4つの２次面BCD,ACD,ABD,ABC。
２単体の三角形ABCの面は点を3通りとれるから、３つの1次面BC,AC,AB。
１単体の線分ABの面は点を2通りとれるから、2つの０次面B,A。
・単体の向き
頂点の順番を変えて単体の向きをつけることができます。
これも＜＞をつけて表現することがよくありますが、
geogebraでは半角英数の大小記号を文中の入れるとタグ扱いされて保存が不完全になるので、
使わないことにします。
線分はAB=-BA （逆向き）
三角形はABC=-ACB (裏返し）
四面体はABCD=-ABDC (右ねじと左ねじ）
２単体から２単体複体をつくろう
＜複体＞
たとえば、複数の三角形を用意して、立体ができないように辺どうし、頂点どうしをつなぎます。
辺をくっつるときに、その辺の面（はし）もくっつけます。
もともとあった頂点が重なり、辺が重なり、ふえません。
三角形の面が連続してならぶ平面図形ができます。
これを2次元の複体（complex)といいます。
だから、単体から複体を作るということは、逆に図形を単体に分割して扱うという発想ができるし、
図形を計量的ではないが、代数計算で調べることに道がひらけるんだね。
（例）
四角形ABCDを対角線BDで区切る。
複体K＝{A,B,C,D, AB,BC,CD,DA,DB, BCD,ABD}
（一般的な定義）
複体Kは単体の集合体です。
Kの要素s,tが単体なら、
・sの面（境界、はし）uはすべｔ複体Kに入ってます。
・s∩tはsとtの共通の面（境界、はし）か空です。
Kの次元は|K|は、Kの単体の最大次元です。
0鎖、1鎖を感じよう
２．Cｎの部分のZｎの中にBｎがある
＜チェーン群Cn＞
ｎ次元の単体はn+1個の頂点を基底とする一次結合でした。
ｎ次元の鎖、チェーンは複体Kの要素となる1次元単体を基底にするベクトルです。
順番も基本どうでもよく「基底を何個かたし算でつないだだけのくさり」ですが、
同類のベクトルでまとめると、
係数がそのベクトルをつないだ形になります。
簡単のために複体Kのｎ次元の鎖をｎ鎖（K)とかｎC(K)かいたります。
・複体K＝{A,B,C,D,AB,BD,DA,DC,BC,BDC,ABD}
の鎖は、
０鎖C0(K)は sA+tB+uC+vD
１鎖C1(K)は sAB+tBD+uDA+vDC+wBC
２鎖C2(K)は sBDC+tABD (係数s,t,u,vは整数Z)です。
（計算の都合上、係数をmod2つまり、1,0だけに限定する場合もあります。）
チェーンは、それぞれの次元の基底に整数をかけた合計なので、次元をそのままですね。
整数自体に特に意味はないですが、点が基底ではなく、単体が基底であることに着目しよう。
チェーンの基底はベクトル空間の基底と同じ役割になり、係数はその成分ですから、
成分である整数が加法で群をなす以上、チェーンはそれぞれの次元で群を作るでしょう。
このような群を自由加群とよぶこともあります。
深い意味はなく適当に適当な数だけくっつけたというfreeな群な可換群です。
2つの巡回群C2,C3で直積C2×C3を作ると群C6になるのと同じですね。（同じCで紛らわしいですが）
ｎ次元のチェーンの群をチェーン群Cnとか鎖群Cnといいます。もちろん可換群です。
係数の整数のたし算であることと可換群であることを強調して
Z加群という言い方をすることもあります。名前には意図が込められるのですね。
＜境界演算子n＞
境界演算子はチェーンにたいして作用できます。
単体に作用した結果がわかれば、チェーンは単体でできたおだんごのようなものですから、
チェーンにも作用できます。
n次境界演算子は、n鎖をn-1鎖に変換します。
ｎ次のチェーンにたいする写像を境界演算子で、ｄｎとします。
たとえば、
d1(AB)=B-A
d2(ABC)=BC-AC+AB
d3(ABCD)=BCD-ACD+ABD-ABC
こうなります。
規則が気付いたでしょうか。
まず、1個目の単体はもとの1番目のaがありません。
2個目の単体はもとの２番目のbがありません。。。。
そうです。ｎ番目の単体はもとのｎ番目の点をぬいているだけです。
1番目から順に符号が、＋－＋－＋の連続です。
そうです。もとの偶数番目がマイナスです。
境界演算子はたったこれだけのルールです。
どんな意味があるのでしょう。
たとえば、ABはベクトルのように考えると、終点ー始点になってます。
たとえば、ABCは辺がAB,BC,CAと輪になってます。acだけ逆向きにする必要がありますがマイナスです。
境界となる１つ次元をさげた単体を順番つきで並べているというイメージはつかめましたね。
（一般化ルール）要素aiのiを０からかぞえて、j番目をぬくこと(aj)とかくと
ｎ境界子＝dn(a0a1...aj....an)=Σ(-1)j|a0a1...(aj)....an|
（計算の都合上、チェーンの係数をmod2つまり、1,0だけに限定する場合は、符号はプラスだけです。）
＜輪体群、サイクル群Zn＞
境界演算子ｄｎを写像と考えると、dn：Cn →Cn-1；d →０
「Ker(dn)=0となるCiのことをi次元の輪、輪体（サイクル）、ループ」といいます。これって、要するにチェーンがループしていて端、縁なし、だから、境界をとると０になるということです。簡単のためにｎ次元のサイクル、輪体をｎ輪とかこう。
n輪体の群をｎ輪群、サイクル群、Znとかきます。
ｎ次のチェーン、ｎ鎖体Cnが群をなしdnが線形だから、Cnの部分である輪Znも群をなします。
ZｎはCｎの部分になる図形たちですね。
（例）
１鎖C1∍c=AB+BC+CA
d1(c)=d(AB+BC+CA)=dAB+dBC+dCA=B-A+C-B+A-C=0だから、
cは1鎖で、ker(d1)=0なので、1輪です。ループですね。
（例）
１鎖の定数倍C1∍kc=kAB+kBC+kCA=k(AB+BC+CA)
d1(kc)=kd1(c)=k 0=0だから、１鎖のｋ倍も1鎖だから、群をなす。
dn(0)=0。dn(x+y)=dn(x)+dn(y), dn(kx)=kdn(x)このように、
dnを写像とみるとゼロ元が０で線形だから、Znは加群です。
サイクル群ZnはKer(dn)=0となる。Cnの境界になるループ図形だね。
（例）
三角形K=|ABC|のZ1={n(AB+BC+CA)}はC1の部分で、ループの整数倍の鎖だから、d1で境界をとると０になるし、そうなる要素の加減、定数倍、０倍したものにd1を作用させても０になるね。Z1=Ker(d1)だね。
Zn=Ker(dn)
＜境界群、バウンダリー群Bn＞サイクル、ループは2次元図形の境界(boundary)でした。
図形の境界の輪体になっているチェーンを境界輪体といいます。
１鎖C1∍c=AB+BC+CAは、三角形t＝ABCというC2の要素の境界でした。
Ci∍cが境界になるのは、Ci+1∍tがあって、di+1(t)=cとなるときです。
境界輪体も群をなします。これを境界(輪体)Biという。
BｎはCｎの部分になる図形たちですね。
（例）
同じc=|ab|+|bc|+|ca|でも、
中が空ならばｃは境界ではありません。
中の三角形がつまっていれば、ｃは三角形の境界といえます。
つまり、Bnは1つ上の次元にCn+1があり、その境界なのです。
（例）
三角形K=|ABC|のd2(K)=AB+BC+CAはZ1の部分。B1=Im(d2)
d2(C2)=d2(pK)=pd2(K)=p(AB+BC+CA)もB1の要素。pの部分の整数を変えてもB1に属するから、B1も群をなすね。B1はすべて、輪体Z1に入るね。
Bn=Im(dn+1)
境界輪体BiはCiの部分の図形で、境界写像dが線形だから、Biも群をなします。
これが境界輪体群Biです。
C１の部分のZ1の中にB1が入る
簡単にかくと、境界演算子を連続して使うと、
C2にある「三角形」→
C1にある「三角形の境界B1はサイクルZ1だ」→
C0にある「サイクルZ1の境界＝０」
この3段階ができて、中間図形がZ1であり、B1であるということですね。
＜境界の境界＝０＞
複体の境界演算子を連続して使うと、
どの段階でも鎖K=Cn+1の
「境界の境界はゼロ、dn(dn+1(K))=0」となる。
（理由）
（n+1)単体Pの境界dn+1(P)はｎ面からなる。Pのすべての（n-1)面はちょうど２つのｎ面に属するから。
境界を2回とると０になる。
これは言い換えると、
ｎ鎖群Cｎの部分の
ｎ輪群Zｎの中に
ｎ境界群Bｎがある。