GeoGebra

Propriedades entre produtos

Autor:Ricardo Augusto de Oliveira
Propriedades do produto interno Sejam os vetores u, v, z tais que são eles não nulos, e k um escalar. Só para exemplos daremos u= Vetor[(2,3)] w= Vetor[(4,3)] v= Vetor[(7,2)]
  1. u.w=w.u (comutativo)
  2. k(u.w)=ku.w (homogeneidade)
  3. v.(u+w)=zu+vw (distributiva)
  4. (vetor nulo).(u.w)= (vetor nulo).(u).(w)=vetor nulo
Lembrando que se (uw)=90° o ângulo formado entre os vetores u w for igual a 90°, então (u.w) será 0, o produto interno será zero pois: u.w = IIuII.IIwII.cos(uw) u.w = IIuII.IIwII.cos(90°)    u.w = IIuII.IIwII.0    Ou seja, o vetor u é perpendicular ou tem seu representante perpendicular ao vetor w ou ao representante do vetor w. E se o produto interno for (u.u) então teremos como resultado o valor do módulo de u, pois: (uu) = 0 Cos(uu)=cos(o)=1 IIuII.IIuII=IIuII2 Logo: IIuII2.1=(xu^2+yu^2)^1/2(xu^2+yu^2)^1/2 Veja no exemplo: Digite u*w na janela de entrada e perceba que na janela de álgebra obtemos o valor a=17. Nada mais do que o produto interno u.w. Este produto é realizado da seguinte maneira: u.w = IIuII.IIwII.cos(uw) u.w=II(2,3)II.II(4,3)II.cos(uw) u.w=(2^2+3^2)^1/2.(4^2+3^2)^1/2. cos(19.44°) u.w=(13)^1/2.(25)^1/2.cos(19.44°) Digite no Google (13)^(1/2)*(25)^(1/2)* cos(19.44) u.w=81,25* cos(19.44°) u.w=81,25*0,830693529 u.w=14,9755406 Aproximadamente o valor dado no GEOGEBRA, à diferença se dá pela aproximação do ângulo feito no software.

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