"Cicloide" com raio variável
A cicloide é o lugar geométrico de um ponto sobre uma circunferência (com raio constante) que rola sobre uma linha reta. Mas e se nós variarmos o seu raio durante o percurso?
Este applet permite visualizar o traço formado ao variar o raio de acordo com o ângulo (em radianos) de rotação da circunferência. Valores negativos para o raio são entendidos como uma circunferência abaixo do eixo x rotacionando para a esquerda (experimente!).
Um resultado bacana é que a área abaixo de um período da cicloide é exatamente 3 vezes a área do círculo que a gerou. Quando variamos o raio, por outro lado, não faz sentido pensar na "área abaixo de um período" pois nem sempre (quase nunca, na verdade) o traço é periódico. Isso nos leva a seguinte pergunta: para quais funções o traço é tal que podemos dividi-lo em intervalos semelhantes (não necessariamente iguais) entre si?
Para facilitar o trabalho, colocaremos mais duas restrições:
(1) traços de intervalos consecutivos são proporcionais por um fator constante - isso permite calcular a área de qualquer intervalo sabendo a área do primeiro;
(2) pontos correspondentes em intervalos distintos estão associados a um mesmo ângulo em relação o eixo vertical (figura 1).
Figura 1
Figura 2
Com as duas restrições, sabemos que o raio em dois pontos correspondentes de intervalos consecutivos são proporcionais pela mesma razão , ou seja, . Algumas soluções para essa equação são:
(1) para uma constante. Neste caso, e o traço gerado é a cicloide;
(2) e, neste caso, ;
(3) ou qualquer combinação de senoides. Neste caso, ;
(4) ou qualquer combinação de senoides. Neste caso, .
Como se pode perceber, o caso corresponde as funções periódicas e há uma infinidade de outras soluções além das apresentadas.
Obs:
(1) a solução (3) gera um traço bem conhecido;
(2) a solução (4) não repete periodicamente neste applet porque o Geogebra parece não conseguir calcular o valor certo da integral do módulo do seno para pontos fora do intervalo . Consertando isso (manualmente), o resultado é o mostrado na figura 3.
Figura 3
Por último, para quem se interessar na construção deste applet, note que as coordenadas do centro da circunferência em função do ângulo de rotação são (de fato, o produto entre o ângulo em radianos e raio da circunferência resulta no arco percorrido para um raio constante: generalizando, temos que a integral do raio em relação ao ângulo resulta justamente no deslocamento horizontal do centro da circunferência). Além disso, as coordenadas do ponto rastreado sobre a circunferência são dadas por (o último termo é o versor que dá a direção do ponto em relação ao centro da circunferência).