Circunferencias con cevianas como diámetros
Las cevianas de un triángulo son segmentos que unen un vértice con un punto del lado opuesto.
1. Si dos circunferencias tienen como diámetros dos cevianas de un triángulo, del mismo o distinto vértice, su eje radical pasa por el ortocentro.
2. Si tres circunferencias tienen como diámetros tres cevianas de un triángulo, de al menos dos vértices, su centro radical es el ortocentro.
La demostración se basa en que:
1) El ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. Esto implica que estas circunferencias pasan por el pie de la altura correspondiente a la ceviana que le sirve como diámetro.
2) Los simétricos del ortocentro respecto de los lados se encuentran en la circunferencia circunscrita, lo que también puede verse Alturas y ortocentro, y en el concepto de potencia de un punto respecto de una circunferencia: El producto de los segmentos trazados en una misma recta desde un punto hasta una circunferencia es constante, independiente de la recta.
Si las tres cevianas corresponden a un mismo vértice. las circunferencias son coaxiales, con la altura correspondiente como eje radical común.