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Los dados no transitivos de Efron y de Quimby

Autor:Rafael Losada Liste
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Juegos. Observa las cuatro ruletas de la construcción. Cada una de ellas representa un dado, con sus caras numeradas de una forma peculiar:
  • Dado A: 4, 4, 4, 4, 0, 0
  • Dado B: 3, 3, 3, 3, 3, 3
  • Dado C: 6, 6, 2, 2, 2, 2
  • Dado D: 5, 5, 5, 1, 1, 1
Imagina que con estos dados proponemos el siguiente juego: cada uno elige un dado y en cada tirada ganará el que saque el número mayor. Imagina que eliges el D: entonces yo elegiré el C. Después de realizar varias tiradas de prueba, seguramente verás que yo gano más veces que tú. Así que decides cambiar de dado, y eliges el C. Ahora yo elijo el B. Volvemos a probar varias tiradas, y otra vez salgo ganando yo. Así que cambias tu dado y eliges el B. Entonces yo elegiré el A. Y vuelve a pasar lo mismo. Al cabo de todas estas tiradas, habrás llegado a la conclusión de que el dado A es el mejor. Así que decides elegir el A. Bueno, ahora yo elijo el D... ¡y vuelvo a ganar la mayoría de las tiradas! Te lo creas o no, elijas el que elijas, yo siempre tendré más probabilidad de ganar que tú. Es más, la probabilidad teórica dice que, de media, yo debería ganar a la larga el doble de tiradas que tú. Esto sucede porque la relación "tener mayor probabilidad de sacar un número mayor" no es una relación transitiva. De media, A gana a B el doble de veces, lo mismo que B a C, que C a D y que D a A. Se pueden crear muchos conjuntos de dados diferentes que muestran esta "no transitividad". El que aquí aparece con cuatro dados se conoce como "los dados de Efron" porque fue ideado por el matemático estadounidense Bradley Efron. Por otro lado, es fácil evitar que los números se repitan: basta ordenarlos todos (0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, etc.) y cambiar cada uno por el orden que ocupa en esa lista (1, 2, 3, 4, 5, etc.). Se obtienen así los dados llamados de Quimby, porque parece ser que el primero en publicarlos fue el físico estadounidense Shirley L. Quimby. Cambiar entre los dados de Efron y los de Quimby no altera la probabilidad de cada dado ni ninguno de los resultados, pues solo cambian "las cifras que vemos", no la relación de orden entre ellas. Para que veas que el ordenador no hace trampa, en vez de jugar tú contra mí, vamos a tirar los cuatro dados a la vez y anotaremos después de cada tirada cuál ganó de las parejas A-B, B-C, C-D y D-A. Así podrás comprobar que, a la larga, A ganará a B, B a C, C a D y D a A.
Dada una pareja de dados, calcular la probabilidad teórica que tiene cada dado de ganar es sencillo, basta ver todas las posibilidades de aparición ("espacio muestral"). Por ejemplo, dados los dados C y D, por cada cara mostrada en C, existen 6 posibles caras que D puede mostrar. Así que hay un total de 36 posibilidades. De ellas, el resultado 2-1 aparecerá 12 veces (4 doses de C por 3 unos de D), el resultado 2-5 otras 12 veces, el resultado 6-1 aparecerá 6 veces y el resultado 6-5 aparecerá otras 6 veces. Como el dado C gana cuando salga 2-1 o 6-1 o 6-5, ganará de media 24 de cada 36 veces, es decir, 2 de cada 3 tiradas.

Si compitieran los dados B contra D, ¿cuál de los dos tendría más probabilidad de ganar?

Marca todas las que correspondan
  • A
  • B
  • C
Revisa tu respuesta (3)

Si compitieran los dados A contra C, ¿cuál de los dos tendría más probabilidad de ganar?

Marca todas las que correspondan
  • A
  • B
  • C
Revisa tu respuesta (3)

Esta pregunta es más difícil. Si compitieran entre sí los cuatro dados a la vez, ganando el que sacase mayor número, solo hay 8 posibilidades (0-3-2-1, 0-3-2-5, etc.), pero no todas ellas tienen la misma probabilidad de aparecer. Así que, ¿cuál sería ahora el dado con mayor probabilidad de ganar?

Marca todas las que correspondan
  • A
  • B
  • C
  • D
  • E
  • F
Revisa tu respuesta (3)
Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.

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