Baricentro
- Autore:
- Fabio Tassoni
Teorema: "Le mediane di un triangolo hanno un punto comune . Tale punto le divide in due parti che stanno fra loro come 2 sta a 1". Tale punto prende il nome di Baricentro.
Hp: 1) triangolo. 2) ; ; . Th: 1) ; 2) ; ;
Passo 1 : Sia un triangolo qualsiasi. Passo 2 : Siano e le mediane, rispettivamente, di e . Passo 3 : Sia il loro punto di intersezione, che esiste sicuramente perché le mediane sono non parallele e interne al triangolo. Passo 4 : Tracciamo il segmento che, per il teorema delle corrispondenze di Talete, è parallelo a e congruente alla sua metà. Quindi , . Passo 5 : Consideriamo i punti e , rispettivamente medi di e Passo 6 : Per il teorema delle corrispondenze applicato al triangolo , e , quindi, per quanto detto al Passo 4 : e . Passo 7 : Quindi il quadrilatero è un parallelogramma. Passo 8 : Quindi è il punto di intersezione delle diagonali e, per le proprietà dei parallelogrammi: e e . Quindi il punto G produce la stessa sezione nelle due mediane. Passo 9 : Quindi se avessimo considerato altre due mediane avremmo ottenuto lo stesso risultato, e dato che il punto che produce una data sezione è unico, se ne deduce che G appartiene anche alla terza mediana