Kapitel
Moebiusebene
- Autor:
- Walter Füchte
- Thema:
- Kreis, Komplexe Zahlen, Kegel, Kegelschnitte, Zylinder, Funktionen, Geometrie, Geraden, Kugel, Symmetrie
Reelle ebene Moebiusgeometrie
Inhaltsverzeichnis
Einführung
Darstellungen
Möbius - Geradenraum
- Übersicht und Leitfaden
- Der Geradenraum im reellen Quadrikmodell
- Die komplexe Struktur des Geradenraums
- Geradenraum als Lie-Algebra
- Geometrische Deutung I
- Geometrische Deutung II
- Geometrische Deutung III
- Euklidisches Koordinatensystem ...
- ... und stereographische Projektion
- Das LIE-Produkt
- Das LIE-Produkt geometrisch
Möbius-Transformationen -- Lorentz-Transformationen - und ...
- Geometrie und Gruppe
- Gruppe der Möbius-Transformationen
- Moebius-Transformation 1 konkret
- Möbius-Transformation 2 konkret
- Möbius-Transformation 3 konkret
- reelle Möbiusebene: Invarianten
- Gruppe der Lorentz-Transformationen
- Projektive Sichtweisen
- Möbiustransformationen auf der Kugel
- Stereographische Projektion als Kugelspiegelung
- SO(3, ℂ) als Möbiusgruppe
Lage von 4 Punkten
- Doppelverhältnis
- Doppelverhältnis geometrisch gedeutet
- Die zugeordnete ON-Basis
- Die absolute Invariante von 4 Punkten
- Vier Punkte in "Normalform"
- geometrische Konstruktion
- Invarianten in Normalform-Basis
- Vier Punkte und ihre Symmetrien
- Die absolute Invariante J(z)
- Doppelverhältnis und Wurzel 1
- Doppelverhältnis und Wurzel 2
Spiegelungen und Untergeometrien
Kreisbüschel oder lineare Vektorfelder
Kurven und Funktionen
Berührorte oder Cassini-Kurven
- Berührorte
- Berührort zweier Kreisbüschel
- Kreisgleichungen
- Cassini
- Wurzel und Quadrat
- Cassini 2
- Umfangswinkel-CASSINI
- Kreisbüschel wurzeln
- Hermitesche Produkte sonst
- Der Name "CASSINI"-Quartik
- Ausblick
- CASSINI, Wurzel und Umfangswinkel
- CASSINI, Wurzel und Umfangswinkel -2-
- CASSINI-Peripheriewinkel 1
- CASSINI-Peripheriewinkel 2
Bizirkulare Quartiken - Hermitesche Abbildungen
- Programm vorläufig
- Im Fokus: Brennpunkt, Leitkreis
- Bizirkulare Quartiken - Die Formeln
- Projektionen senkrecht/stereografisch
- Konfokale bizirkulare Quartiken
- Quartik als Quadrikschnitt
- 1-teilige Quartik: Gleichungen
- 1-teilige Quartik: Parameterdarstellung
- Leitkreise für Einteilige Quartiken
- Einteilige Quartik, hyperbolisch projiziert
- Einteilige Quartiken mit Leitkreisen
- Einteilige Quartiken in ℂ
- Konstruktion: 1-teilige Quartik
- 2-teilige Quartik: Gleichungen
- Cassini-Quartiken: Die Formeln
- 2-teilige Quartik: Parameterdarstellung
- Doppelt-berührende Kreise
- Der hyperbolische Gärtner
- Leitkreis für Quartiken
- BizQu aus Brennpunkt und Leitkreis
- Bizirkulare Quartik-Gleichung allgemein
- Tetraeder - Symmetrien
- Tetraeder - Symmetrien 2
- Tetraeder mit Projektion
- Berührkreise
- LeitkreisVersuch
- Hyperbolische Konstruktionen
- Hyperbolisch: Das quadratische Vektorfeld
- Quartik Grund-Konstruktion
- Abbildung Leitkreis -> Quartik
Quadratische Vektorfelder oder elliptische Funktionen
- Quadratische Vektorfelder 1
- Quadratische Vektorfelder 2
- Klassifikation der quadratischen Vektorfelder
- Bilder der Sonderfälle
- Bild der Weierstraßschen ℘-Funktion
- Gemeinsame Eigenschaften 1
- Gemeinsame Eigenschaften 2
- Zusammenhänge 1
- Zusammenhänge 2
- Zusammenhänge 3
- Zusammenhänge 4
- Zusammenhänge 5
- Zusammenhänge 6
- Zusammenhänge 7
- I b: Konfokale zweiteilige Quartiken
- I c: Einteilige Quartiken
- Ic: Konfokale einteilige Quartiken
- I b & c: Kurvengleichungen
- II: sin(z) und konfokale Kegelschnitte
- II: Konfokale Ellipsen & Hyperbeln
- II: Konfokale Kegelschnitte 2
- III: z² und konfokale Parabeln
- Parabelzylinder
Spezielle Kurven
Spezielle komplexe Funktionen
- Möbius-Transformationen
- Kehrwert komplex: z ↦ w = 1/z
- z ↦ w = z² und z ↦ w = cos(z)
- z ↦ w = z²
- z ↦ w = sin(z)
- z ↦ w = sin(z) in Polarkoordinaten
- z ↦ w = sinh(z)
- komplexe Wurzel
- Kreisbüschel wurzeln
- Kreisbüschel wurzeln 2
- Kreisbüschel wurzeln 3
- "CASSINI-Funktion"
- Experiment "CASSINI-Funktion"
- z ↦ w = exp(z)
- Komplexe ln-Funktion
- z ↦ w = tan(z)
- z ↦ w = tan(z) & 6-Eck-Netze
- z ↦ w = sin(z) & 6-Eck-Netze
- z ↦ w = exp(z) & 6-Eck-Netze
- Loxodromen Sechsecke
- z ↦ w = z + 1/z : Joukowski-Funktion
- Joukowski-Funktion
- Joukowsky - Funktion 2
- Qu-Joukowsky
- elliptische Funktion
- WEIERSTRASSsche ℘ - Funktion
- WEIERSTRASSsche ℘-Funktion 2
- elliptische Funktionen 2
- Elliptische Differential-Gleichung
- Elliptische DGL 2
- Elliptische DGL 3
- Elliptische DGL Normalform
- J -Funktion
- J-Funktion 2
Sechs-Eck-Gewebe
Sechs-Eck-Gewebe aus Geraden
- 3 Geraden-Büschel
- 6-Ecknetz aus Geradenbüscheln
- Parabelnormalen
- 6-Ecknetze aus Geraden
- Tangenten einer Kubik
- Kubik-Tangenten
- kubische Funktionen: anders betrachtet
- Der Satz von Graf&Sauer 1. Experiment
- Der Satz von Graf&Sauer 2. Experiment
- Parabel-Normalen Experiment
- Parabel 6-Eck-Netz
- STEINER-Kurve Sechs-Eck-Netz
- Hyperbel-6Eck-Netz
- Experiment 3Pkt-Kreisbüschel
Sechs-Eck-Gewebe aus Kreisbüscheln
- Grundlagen & Formeln
- Übersicht
- Sechs-Eck-Bedingung mit mathematica
- 3 elliptische GERADEN-Büschel: Fall 1
- Kreise und Spiralen: Fall 2
- 3 Büschel 2 Pole: Fälle 3, 4 und 6
- Experiment: 2 Pole, 2*parabolisch, 1*hyperbolisch
- Loxodrome 2 Pole Fall 5
- 3 * parabolisch - 2 Pole
- 3*parabolisch - 3 Pole
- 3 Büschel 3 Pole: Fall 9
- Loxodrome 3 Pole Fall 7
- Loxodrome 3 Pole 2 elliptische Büschel: Fall 8
- 3 Kreisbüschel mit mehr als 3 Polen
- Berühr-Orte bei 4 Polen
- 3 Kreisbüschel mit 4 Polen
- Berührort: elliptisch + parabolisch
- 3 Kreisbüschel mit 3*2 Polen
- ON-Basis 3D
- Polar-Tetraeder Sechsecke Fall X
- Beispiele zu Fall X
- Begründungen zu Fall X
- Berührorte - konzyklisch
- Berührorte - spiegelbildliche Lage
- Fazit
- Geraden-6-Eck erweitern
- Kreis-6-Ecke erweitern
Sechs-Eck-Gewebe aus 3 Kreisscharen
- Ellipsen 6-Ecknetz aus Tangenten und DB-Kreisen
- Ellipsen-DB-Kreis 6-Eck Kontrolle
- Hyperbel 6-Ecknetz aus Tangenten und DB-Kreisen
- Kein Hyperbel-6-Eck-Netz
- Chaos oder Ordnung ?
- Kreis-Feuerwerk
- Kreis-Feuerwerk 2
- Hyperboloid-6-Eck
- Cartesisches Oval mit 6-Eck
- Cartesisches Oval mit endlichem Kreis-6-Ecknetz
- Ein besonderes Dreiecksnetz aus Kreisen
- 3D Quartik
- Ein besonderes Dreiecksnetz
- conic hexagonal web
- 1-teilige Quartik 1
- 2-teilige Quartik
- Fragen Unerledigtes Ausblick
- Kreis-6-Eck Experimente
- Experiment 2
- Kreis-6-Eck Experiment 3
- Kreis-6-Eck-Experiment 4
- Parabolische 6-Eck-Netze
- Experiment 3Pkt-Kreisbüschel 2
Neue 6-Eck-Gewebe aus Kreisen
- 6-Eck-Netze aus Kreisen: eine Übersicht
- F N (a)
- F N (b)
- F N (c)
- F N (d)
- F N (e)
- F N (e): 6-Eck
- F N (e) 6-Eck-Netz 2
- Neues Ellipsen-Kreis-6-Eck
- Berechnung der Kreise
- 6-Eck-Netz an Ellipsen 3
- Ellipsen & 6-Eck-Netze aus Kreisen
- Ein neues 6-Eck-Netz aus Kreisen
- hommage à Walter Wunderlich
- hommage à Walter Wunderlich 2
- Hommage à Walter Wunderlich 3
- Endliche 6-Eck-Netze aus Kreisen
- 6-Eck-Netz & Doppelverhältnisse
- Ein neues 6-Eck-Netz aus Kreisen 2
- Berührorte und 6-Eck-Netze
- Ein neuer 6-Eck-Netz-Kandidat
- a new hexagonal 3-web of circles
- 6-Eck-Netz in 2-teiligen Quartiken
- Berechnung der Kreise 2
- 6-Eck-Netze in 2-teiliger Quartik 2
- 6-Eck-Netz in 2-teiliger Quartik 3
- 3-web of circles: a new web
- Ein neues 6-Eck-Netz: Beispiel 3
- 3-web-of-circles: Berührort
- Versuch
- Kein 6-Eck-Netz
- Näherungen
- F N (e) Hyperbel
- Ergänzung - nicht neu
- Neue 6-Eck-Netze aus Kreisen !?
- Neue 6-Eck-Netze aus Kreisen
- Kreis-6-Ecke an Ellipsen
- Kein 6-Eck-Netz für Ellipsen
- Kegelschnitte als Limit
- Neue 6-Eck-Netze aus Kreisen 2
- Ein neues 6-Eck-Netz aus Kreisen
- Gegenbeispiel
- Neu: Cartesisches Oval
- andere 6-Eck-Netze
- Keine 6-Eck-Netze
Sechs-Eck-Gewebe 3D
- Blaschke's Frage & Darboux Cycliden
- Konfokale Darboux Cycliden 1-teilig
- Konfokale Darboux Cycliden 1-teilig 2
- Konfokale Darboux Cycliden 2-teilig
- Darboux Cycliden: Die Formeln
- Darboux Cycliden: Die Formeln 2
- konfokale Quadriken
- Kreise auf konfokalen Quadriken
- Darboux Cycliden
- Darboux Cycliden 2
- Darboux Cyclide 3
- Kreise auf DARBOUX Cycliden
- circles on Darboux cyclides 2-sheet
- circles on Darboux cyclides 1-sheet
- circles on Darboux cyclides 1-sheet 2
- Kreise auf Darboux Cycliden 1
- Kreise auf Darboux Cycliden 2
- Darboux Cyclide: Ei - Form
- √ (Kugel) ≙ Cassini-Ei
- Wollknäuel Geometrie
- rotierende Kreise - invertiert
- Einen Kreis rotieren: 3D
- Kreise rotieren 2
- Darboux Cycliden aus Kegelschnitten
- Doppelt-berührende Kugeln
- Kreise auf Ellipsoiden
- Kreise auf Hyperboloiden
- Kreise auf Quadriken 1
- circles on hyperboloid 1-sheet
- circles on hyperboloid 2-sheets
- Warum sind die Kreis-Schnitt-Ebenen parallel?
- Paraboloid-Kreise
Möbius-Raum
Rezepte
Literatur