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Produktregel

Quelle: http://www.riemer-koeln.de/mathematik/publikationen/pm-produktregel/pm-produktregel.pdf u hat der Stelle 4 den Funktionswert a=2 und die Steigung m=0,5. v hat dort den Funktionswert b=3 und die Steigung n=1. Das Produkt f=u*v hat dann an der Stelle 4 den Funktionswert a*b=6. So ist das Produkt zweier Funktionen definiert. Aber wie groß ist dort die Steigung s? Sie lässt sich aus a, b, m und n berechnen. Finden Sie heraus wie ... und anschließend warum!
1. Entdecken Variieren Sie die vier Parameter a=u(4) , b=v(4) , m=u’(4) und n=v’(4) systematisch und halten Sie fest, wie sich s dabei verändert. Dokumentieren Sie Ihre Ergebnisse in einer Tabelle. Drücken Sie s durch a, b, m und n mithilfe eines Terms aus: s = .... .
2. Kontrollieren Wenn Ihre Entdeckung stimmt, enthält sie die Faktorregel (c*f)’=c*f’ für einen konstanten Faktor c als Spezialfall. Erläutern und begründen Sie! 3. Begründen an einem Spezialfall Nehmen Sie an: - u ist eine lineare Funktion, deren Graph durch (4;a) verläuft und die Steigung m hat - v ist eine lineare Funktion, deren Graph durch (4;b) verläuft und die Steigung n besitzt. Diese Annahmen machen Sinn, denn Sie wissen: Jede Funktion sieht lokal wie eine Gerade aus. Beschreiben Sie in Worten, was sie sehen – und kontrollieren Sie Ihre Endeckung aus 1 rechnerisch. 4. Begründen allgemein Wenn man im ursprünglichen Applet von der Stelle 4 um h=0,01 nach rechts geht, wächst - u von 2 auf 2+mh - v von 3 auf 3+nh und - f=u*v von 6 auf (2+mh)(3+nh)=6+(2*n+3*m)h+mnh². Erläutern Sie in eigenen Worten, warum diese Umformung die Entdeckung aus 1 begründet. Verallgemeinern Sie ... und formulieren Sie eine Regel zum Ableiten von Produktfunktionen