Die Exponentialfunktion
1. Untersuchung der Standard-Exponentialfunktion
Aufgabe
Beschreibe die Eigenschaften der Exponentialfunktion y = für verschiedene Wachstumswerte a.
Monotonieverhalten
Wie ändert sich das Monotonieverhalten von f(x) = a^x in Abhängigkeit vom Wachstumsfaktor a?
Asymptotisches Verhalten
Welche Asymptote besitzen alle Exponentialfunktionen?
Sonderfall
Welcher Graph ergibt sich für a = 0?
Definitionsbereich der Funktion f(x) = 0^x
Welchen Definitionsbereich hat die Funktion f(x) = 0^x? Prüfe auch mit dem Taschenrechner nach!
2. Welche Werte sind für den Wachstumsfaktor erlaubt?
Das obige Applet lässt für a nur nicht-negative Werte zu. Warum?
Der Grund liegt daran, dass Potenzen der Form für alle x definiert sind, wenn die Basis a nicht negativ ist. Das ist für negative Basen nicht uneingeschränkt richtig.
Beispiel: (-1)^0 = 1 ; (-1)^1 = -1 ; (-1)² = 1 ; (-1)^3 = -1.
Ist die Basis negativ, so "springt" die Funktion von positiv zu negativ. Außerdem:
= √-1 ist im reellen Zahlenbereich kein definierter Ausdruck.
Definierte Exponentialfunktionen
Welche Funktion ist nicht definiert?
3. Abhängigkeit vom Vorfaktor b und vom Wachstumsfaktor a
Untersuche den Graphen in Abhängigkeit der Formkonstanten a und b.
Wie muss ich die Parameter a und b verändern, damit die Exponentialfunktion monoton steigend ist?
Setze den Schieberegler b auf 2. Wie muss der Wachstumsfaktor a gesetzt werden, so dass f(2) = 4 ein Funktionswert ist?
4. Symmetrische Graphen
Vergleiche die Schaubilder. Was stellst du fest: für = 2 und = 0,5 = 1/2 für = 4 und = 0,25 = 1/4 für = 0,2 = 1/5 und = 5
Graphen-Applet
Schlussfragen:
Wie müsste eine Funktionsterm lauten, wenn das Schaubild um 4 Einheiten nach unten (in y-Richtung) verschoben wäre?
Wie müsste eine Funktionsterm lauten, wenn das Schaubild um 2 Einheiten nach links (in X-Richtung) verschoben wäre?