Újabb általánosítások, alkalmazások
- Szerző:
- Tarcsay Tamás
- Témák:
- Kör, Derékszögű háromszög, Érintő
Száldobágyi Zsigmond két egymást kívülről érintő körökkel kapcsolatos problémát jelentetett meg. Ennek kapcsán nézzük meg, hogy milyen sejtések fogalmazhatók meg az ilyen helyzetű körökre vonatkozóan!
Következzenek a bizonyítások!
1.
Kaptuk, hogy a közös külső érintő szakasz hossza a sugarak mértani közepének a kétszerese.
2.
Kaptuk, hogy a közös belső érintő felezi a közös külső érintőszakaszt, és ez a szakasz a két kör közös pontjából derékszög alatt látszik.
3.
A két kör közös pontjának a közös külső érintő egyenestől való távolsága a sugarak harmonikus közepe.
4.
5.
Mennyi annak a körnek a sugara, amely érinti a két adott kört és egy közös külső érintőjüket?
Hogyan szerkeszthető meg a keresett kör? (geometriai inverzió)
6.
Két egyenlő (r) sugarú (k0 és k1) kör kívülről érinti egymást, közös külső érintőjük az e egyenes. Ha n 1-től különböző pozitív egész szám, akkor a kn kör érinti e-t, kq-t és kn-1-t. Adjuk meg a kn kör rn sugarát!
A fenti applet alapján sejtés:
A bizonyítás teljes indukcióval, az 5. felhasználásával megadható. Ezt az olvasóra bízzuk.