Propiedad distributiva. Cociente
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Una visión geométrica de las operaciones aritméticas.
P9. El inverso del inverso de a es a, esto es, (a-1)-1 = a, pues (A-1)-1 = A.
P10. El inverso de 1 (abscisa de I) es 1, y el de –1 (abscisa de I') es –1, pues tanto I como I' están en la circunferencia unitaria.
P11. Distributiva respecto a la suma. Para cualesquiera a, b y c, se verifica que a (b + c) = a b + a c, pues el punto medio M entre PAB y PAC es el mismo que el punto medio entre O y el punto PA(B+C).
8. La división y el cociente
Siempre que B no coincida con O, para dividir a/b, multiplicamos a b-1, obteniendo el punto C(a/b, 0). Si A coincide con O, C coincidirá también con O.
Con GeoGebra, dados A y B, con B distinto de O:
1. B-1 = Refleja(B, Circunferencia((0,0), 1)
2. B-1y = (0, x(B-1))
3. rA = Recta((0,1), A)
4. rAB = Recta(B-1y, rA)
5. C = Interseca(rAB, EjeX)
Esto equivale, analíticamente (pues GeoGebra considera A/B como la división del número complejo x(A) + y(A) i entre el complejo x(B) + y(B) i), a:
C = (real(A/B), 0)
La división no es conmutativa. Por ejemplo, 0/1 no coincide con 1/0, pues en el primer caso obtenemos la abscisa de O y en el segundo no obtenemos ningún valor real.
Conclusiones
Hemos podido comprobar cómo GeoGebra puede ayudar a la visualización y observación de las propiedades de las operaciones aritméticas de dos modos complementarios y fuertemente relacionados a través de la geometría analítica: mediante la realización de construcciones sintéticas y mediante el uso de procedimientos algebraicos (como operaciones con vectores o números complejos).
Este ejercicio de observación de los procedimientos matemáticos, con gran carga histórica, puede ser profundizado en mayor o menor medida, en función del conocimiento previo de los alumnos. El objetivo último, una vez más, es facilitar la percepción de la alta conexión entre diferentes conceptos y métodos, seña de identidad de programas como GeoGebra y de las propias Matemáticas.
Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.