E 04 Legyen adott az E-síkon ...
Ha olvasóink - egy időre - le is mondanak arról, hogy önálló vizsgálatokat segítő demonstrációkat készítsenek, feladatokat oldjanak meg az elliptikus geometriában, ahhoz mindenképpen ragaszkodjanak, hogy a GeoGebra appletek interaktív alkalmazásával alaposan megismerkedjenek az E-sík objektumainak a kölcsönös helyzetével, kapcsolataival megszokott és merőben új tulajdonságaival.
Így hát legyen adott ...
... egy pont!
Ha csak egy pont adott a síkon, ahhoz a korábbi geometriai ismereteink birtokában nem sok hozzáfűzni való akad. Itt viszont van! Ha az egérrel megfogva "kivisszük" a modell alapkörén. nyomban "bejön" az ezzel átellenes pontban, és tovább mozgatható mindaddig, amíg el nem engedjük. A nyomvonal kapcsolóval furának tűnő pályát is tudunk vele rajzolni. Itt mutattuk be (2. app.) azt a fogást, amellyel ezt a "jelenség" előidézhető.
Az elliptikus geometriában egy ponthoz egyértelműen hozzárendelhető egy E-egyenes, az adott pont polárisa. Mint hamarosan látni fogjuk, ez a pont→polárisa , egyenes→pólusa kapcsolat kölcsönösen egyértelmű. A kitakarás jelölőnégyzetet átkapcsolva látható, hogy a poláris alakzatként kapott E- egyenes - épp úgy mint a legtöbb alakzat - a GeoGebra rajzlapnak egy köre, bár jelen esetben a modellezett alakzat ennek csak az alapkörön belüli része.
(Itt jegyezzük meg, hogy a GeoGebra appletnek a kezdő állapotát visszaállító jelét eltakarja az alapkörnek a modellen kívüli része, ezért ha használni akarjuk, előbb ki kell takarni.)
Korábban láttuk (az app. 7 lépésénél), hogy egy E-pont és polárisa közötti kapcsolat a gömbi geometria pólus-poláris kapcsolatának az E síkra eső merőleges vetületeként áll elő. Ezt felhasználva látható be, hogy az A pont, polárisának az alapkör O középpontjához legközelebbi T pontja és a poláris egyenes alapkörre eső C pontja között az ACT∢ =45° kapcsolat áll fenn.
Ha AO=t, akkor t-vel kifejezve vajon mekkora az OT szakasz?
A kérdés megválaszolását a szép elemi geometriai feladatok iránt érdeklődő olvasóinkra bízzuk.
Most azonban legyen adott ...
.. két pont!
Itt már lényegesen több újdonságra számíthatunk.
- Két pontra egy és csak egy egyenes illeszkedik.
Az E-szakasz
Jóval összetettebb kérdés, hogy mit értsünk két ponttal megadott szakaszon?
- Egy egyenes két pontját nem választja el egymástól egy harmadik pont; vagyis nem használhatjuk az euklideszi geometria elválasztási axiómáit.
- Egy E-egyenesre illeszkedő négy pontból álló (A,B) és (C,D) két-két pontja elválasztó pontpárt alkot, ha pl. az A, B, C pontokat rögzítve D folytonos mozgásával csak úgy érhető el a D=C egybeeső állapot, ha előtte D=A vagy D=B előáll.
- Ha (A,B) és (C,D) elválasztó pontpár, akkor (A,C) és (B,D) nem elválasztó.
Az E-szakasz egyértelmű megadására
Lehetőségek az E-szakasz egyértelmű megadására.
Több lehetőség is kínálkozik arra, hogy az E-sík két pontja által meghatározott két szakasz közül egyértelműen választhassunk.
- A fentiek alapján kiválaszthatunk az (AB) E-egyenesen egy P pontot, és ezzel megadhatjuk azt a szakaszt, amelynek a belső pontjait nem választja el, ill. elválasztja A és B.
- Mint minden E-egyenes, (AB) is metszi a modell alapkörét, így a megkülönböztető pont lehet az így kapott két pont bármelyike. Az így kapott C pont mindaddig ugyanazt az E-szakaszt "mutatja", amíg A és B egyike " át nem ugrik" az alapkör vonalra kiérve. Ez a lehetőség azt a hamis látszatot keltheti, hogy a modell alapkörének kitüntetett szerepe van, miközben tudnunk kell, hogy az elliptikus sík épp úgy mindenütt homogén, mint ahogy az euklideszi és a hiperbolikus is az.
- Az elliptikus sík gömb- és félgömb-modelljénél láttuk, hogy az E-szakasz szögekkel mérhető, az E- egyenes mértéke 180°, így az A és B végpontú két E-szakasz mértéke kiegészítő szögpárt alkot. Így egyértelműen megjelölhető pl. az, amely kisebb, ill. nagyobb a derékszögnél. Ha mindkettő derékszög, akkor ezen az úton nem különböztethetők meg.
- Van lehetőség arra is, hogy megadjunk egy adott (AB) egyenesre illeszkedő, A kezdőpontú, adott hosszúságú (szögű) AH szakaszt.