Cuadrados mágicos impares

Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Rompecabezas. Un cuadrado mágico es una tabla cuadrada de números (una matriz) que cumple que la suma de todos los números de cada línea horizontal (fila) de la tabla es la misma en todas ellas, y esa suma coincide también con la suma de todos los números de cada línea vertical (columna) de la tabla, y además, también coincide con la suma de los números dispuestos en cada una de las dos diagonales de la tabla cuadrada. Construir un cuadrado mágico de un número impar (n) de filas es muy fácil siguiendo el procedimiento que se muestra en la construcción de GeoGebra. Primero, colocamos el número 1 en el centro de la primera fila. Después, los siguientes números consecutivos (2, 3... hasta n2), se colocan en el elemento de la tabla situado justo a arriba y a la derecha del anterior, es decir, en la fila anterior y la columna siguiente. Si no se puede porque: a) No hay fila anterior. En este caso, se toma la última fila. b) No hay columna siguiente. En este caso, se toma la primera fila. c) La posición indicada ya ha sido ocupada anteriormente. En este caso, el siguiente número se coloca en la posición justo debajo del último colocado y se prosigue el procedimiento mencionado.
Los pasos a) y b) del procedimiento anterior nos hacen saltar abruptamente de la primera a la última fila y de la última a la primera columna. Sin embargo, si imaginamos que la parte superior de la tabla estuviera pegada a la parte inferior y que la parte izquierda estuviera pegada a la parte derecha, la fila anterior a la primera sería la última y la columna siguiente a la última sería la primera. En la siguiente construcción puedes visualizar que pasaría: al pegar entre sí los bordes azules de la tabla la superficie plana se transformaría en un cilindro (de eje horizontal) y los bordes amarillos se convertirían en las circunferencias de las bases de ese cilindro. Si después pegamos esos bordes amarillos, obtendríamos el toro que ves a la derecha. En ese toro, las líneas diagonales que antes eran discontinuas (salvo la diagonal del 11 al 15) se vuelven ahora líneas continuas.