Conchas de Caracol, hélices y sacacorchos
Estas superficies se obtienen al hacer girar una circunferencia o una elipse alrededor de un eje, al tiempo que la trasladamos en la dirección de ese eje, aumentamos su tamaño y la alejamos del eje.
- Según La forma de hacer las traslaciones y aumentar el tamaño, la superficie tendrá una forma diferente.
- Más concretamente, dependiendo de si los diámetros y la distancia al eje son constantes o no, obtendremos conchas de caracol, hélices, toros, etc.
Concha de caracol de crecimiento exponencial
Deducción de las ecuaciones paramétricas cartesianas
Para generar una concha de caracol, podemos partir de una circunferencia o una elipse y
- hacerla girar n veces alrededor de un eje,
- a la vez que aplicamos una traslación en la dirección del eje.
- Como la sección de la concha va disminuyendo/aumentando, también aplicamos un factor de escala. Mantenemos las circunferencias tangentes al eje de rotación.
- En la última vuelta, el centro de la correspondiente circunferencia estará a una altura y una distancia del eje.
- Por ejemplo, podemos utilizar crecimiento exponencial, con funciones como , o bien , o cualesquiera otras crecientes que se anulen para u=0 y, para valgan y , respectivamente.
- Los factores cos(u) y sen(u) que aparecen en las expresiones para x e y, son los utilizados para girar alrededor del eje que, en este caso, se ha tomado vertical.
- Mientras giramos, construimos las circunferencias de radio r(u) correspondientes a cada ángulo girado u, utilizando la componente z.
- Para ello, incluimos el factor r(u)·sen(v) en esa componente z.
- Para que sean tangentes al eje, deben distar de él f(u), por ser ese su radio. Así que, en las componentes x e y, aparece el factor que también podríamos reescribir utilizando la identidad .
- Si queremos que las secciones resulten elipses, tales que el cociente entre su eje vertical y horizontal sea k, bastará con reemplazar la expresión de z por z=h(u)+k · r(u)·sen(v).
![Fotografía de [url=https://www.geogebra.org/u/deborapereiro]Débora Pereiro[/url].](https://beta.geogebra.org/resource/wmfw54uj/5G1Hz6wohTiNxJrO/material-wmfw54uj.png)
Generalizaciones
Podemos separar el centro de cada circunferencia una distancia R(u) del eje sin más que reemplazar el sumando r(u) por R(u) en las expresiones de x e y antes de multiplicar por cos(u) y sen(v).
En particular, tomando
- Una vuelta (n=1), el radio de cada circunferencia constante r, una separación constante R y altura h=0, tendremos la ecuación del toro.
- Tomando el radio y separación de cada circunferencia constante y lineal, resulta una hélice de radio de giro R, sección de radio r y n vueltas de paso h.
- Tomando como R una función lineal, tendríamos una hélice cónica.
Hélices generalizadas
Sacacorchos
Otro caso particular serían las superficies tipo "sacacorchos", que se obtienen como las anteriores, pero situando el centro de las circunferencias sobre el eje (R=0).
La ecuación paramétrica resultaría, por tanto:
Hélices en nuestro entorno
Como hemos visto, las hélices son objetos matemáticos sumamente elegantes. Pero además son son una de las estructuras más eficientes de la naturaleza y la ingeniería. El hecho de que tengan curvatura y torsión constantes, las hace objetos muy interesantes y presentes en diferentes ámbitos. Por ejemplo:
- Biología y Vida: La estructura de doble hélice del ADN es la forma más compacta y segura de almacenar información genética en un espacio mínimo. También, hay muchas semillas en la naturaleza que utilizan una forma helicoidal/espiral para perforar el suelo o para engancharse
- Mecánica y Fuerza: En los tornillos, la hélice convierte un movimiento de rotación en fuerza lineal, permitiendo unir piezas con firmeza.
- Elasticidad: Los muelles o resortes utilizan la forma helicoidal para absorber energía y recuperar su forma original tras una deformación.
- Arquitectura: Las escaleras de caracol aprovechan la hélice para permitir el ascenso vertical ocupando el mínimo espacio posible en la planta (ver "La escalera de caracol y el Teorema de Pitágoras").
- Arte: la belleza de las hélices/espirales se utiliza para obras artísticas. Por ejemplo, se utilizó una hélice para el monumento a la mujer trabajadora de Garbayuela (Badajoz), cuyos planos mostramos a continuación.
