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外接四角形の対角線の証明

相似の中心の応用

ここでは外接四角形の性質について証明し、その後、その極線について証明する。 外接四角形の性質とは、 「円に外接する四角形ABCDの接点をEFGHとすれば、AC,BD,FH,EGは一点に会する。」 このことを証明するために「相似の中心」を利用する。

外接四角形の対角線がOを通ることの証明

証明(相似の中心の応用)

まず、FHとEGの交点をOとして、ACがOを通ることを証明する。 そのために、CからAD,ABに平行線を引いて、FH,EGの延長線との交点をK,Jとすれば、 図のように、角度と長さがそれぞれ等しくなり、 △CKJは二等辺三角形となる。 そして、△AEF∽△CKJとなり、対応する2辺がそれぞれ平行な二等辺三角形となる。 したがって、この二つの三角形は相似の位置にあり、 二つの三角形において、対応辺がそれぞれ平行ならば対応頂点を結ぶ3直線は一点で会するので、 Oは相似の中心であり、ACもまたOを通る。 同様に、BDもまたOを通る。

外接四角形と接点の作る内接四角形の極線が一致することの証明

外接四角形の極線と接点の作る内接四角形の極線が一致することの証明

上の図で、外接四角形の極線の上にKがあることを証明する。 ただし、MOの極をKとする。 KがHG上にあることは明白。 さらにIの極線とHGが一致することも明白。 最初に証明したことから、対応する接点と対角線が一点I(極)で交わる。 Oの極線はCFで、Nの極線はEDなので、その交点の極線はMOを通る。 したがって、Mの極線とOの極線の交点とKは一致する。 よって、Kからの接線の接点P,QはMO上にある。 H,K,Gは一直線上にあり、もう一つの点Jもこの極線上にある。 次は、LNがKを通ることを示す。 MOとIの極線HGの交点をJとすると、上の議論でJの極線はIKであり、LNでもある。 よって、IKとLNは一致し、LNはKを通る。 このように、極線を使うと証明が簡単になる。 なお、極と極線については、「円の極と極線の性質」を見てください。