octaafverdeling in cents
rekenen met machten
Rekenen met breuken en verhoudingen is niet zo handig.
De gelijkzwevende stemming laat een veel handigere manier van rekenen toe.
Alle toontrappen zijn te schrijven als machten van 2.
Voor het rekenen met machten weten dat a2 . a3 = a2+3 = a5 en a7 : a2 = a7-2 = a5.
Vermenigvuldigen komt neer op het optellen van de exponenten, delen op aftrekken van de exponenten.
stapelen van kwinten
Een kwintverhouding is gelijk aan 2(7/12)
Een stapeling van twee kwinten heeft een verhouding van 2(7/12) . 2(7/12) = 2(7+7)/12 = 2(14/12)
Een stapeling van vier kwinten heeft een verhouding van 2(7/12) . 2(7/12) . 2(7/12) . 2(7/12) = 2(7+7+7+7)/12
Optellen en aftrekken van het aantal twaalfden is veel gemakkelijker om te rekenen.
Voor elke toonafstand moeten we gewoon zeggen over hoeveel 12-en het gaat.
Voor tussenliggende tonen is het bovendien handiger om komma's te vermijden en daarom te in 100sten te rekenen.
verhoudingen in een gelijkzwevende stemming
Elke halve toonsafstand komt overeen met 2(1/12) of 100 cents.
secunde = 200 cents
terts = 400 cents
kwart = 600 cents
kwint = 700 cents
sext = 900 cents
septiem = 1100 cents
Een octaaf wordt dan 1200 cents.
Op deze manier kunnen we i.p.v. met machten en wortels van breukverhoudingen terug lineair werken.
Verhogen wordt niet meer breuken vermenigvuldigen maar cents bijtellen.
Een verschil van 8 cents t.o.v. een toon is bovendien voor elke toon even groot.
Zo kunnen we afwijkingen op welke toonhoogte ook beter vergelijken.
30 Hz verschil is meer t.o.v. 440 Hz dan 30 Hz t.o.v. 880 Hz.
Maar 10 cent t.o.v. een secunde is even veel als t.o.v. een septiem.
De verdeling in cents wordt ook toegepast op stemapparaatjes.
Hoe zet je een verhouding om naar cents?
Het omgekeerde van een macht noemt men wiskundig 'logaritme'.
'De hoeveelste macht van 2' schrijven we als 2log.
Een gelijkzwevende kwint, de 7e stap op 12 halve tonen is gelijk aan 700 cents.
Een reine kwint, de n-de stap op 12 halve tonen in een octaaf heeft als verhouding 3/2.
n/12 is dus de macht waartoe we 2 moeten verheffen om op 3/2 uit te komen.
Wiskundig zeggen we: n/12 = 2log (3/2).
Hieruit vinden we: n = 12 . 2log (3/2).
In cents uitgedrukt is een reine kwint gelijk is aan n = 1200 . 2log (3/2).
2-logaritmen staan niet op een rekenapparaatje maar je kan ze uitrekenen met een kleine omweg.
Volgens rekenregels van logaritmen is 2log(a) = log(a) : log(2)
Een reine kwintverhouding is dus gelijk aan 1200 . 2log(3/2) = 1200 . log(3/2) : log(2) = 702 cents.
Hoe zet je een afwijking in cents om naar een frequentie in Hz?
Toonafstanden bereken je als een macht van 2.
In de gelijkzwevende stemming is de exponent van deze macht een breuk met noemer 12.
De afwijking in cents vul je in als de teller van deze exponent, de noemer wordt 1200 i.p.v. 12.
Een toon die 10 cent hoger is dan een toon van 440 Hz heeft een frequentie van 440 . 2(10/1200)= 442,55 Hz.
Deze berekening kan je ook met negatieve afwijkingen maken.
Een toon die 10 cent hoger is dan een toon van 440 Hz heeft een frequentie van 440 . 2(-10/1200)= 437,47 Hz.
verhoudingen voor de intervallen
We kunnen nu elke frequentieverhouding omrekenen naar cents en vergelijken met de gelijkzwevende stemming met volgende formule:
| toonafstand tussentwee tonen in cents is gelijk aan n = 1200: log(2) . log(frequentieverhouding van beide tonen) met 1200: log(2) = 3983,3 kan je de formule ook schrijven als n = 3986,3 . log(frequentieverhouding van beide tonen) |
| stemming | prime | secunde | terts | kwart | kwint | sext | septiem | octaaf |
| rein | 0 | 204 | 386 | 498 | 702 | 884 | 1088 | 1200 |
| gelijkzwevend | 0 | 200 | 400 | 500 | 700 | 900 | 1100 | 1200 |