Cercles du triangle rectangle tangents au circonscrit
- Auteur :
- Debart Patrice
[BC] diamètre du grand cercle de centre O et de rayon R,
A point quelconque sur le grand cercle,
hauteur [AH] de ABC, perpendiculaire à [BC].
Cercle (c2), de centre I2, de rayon r, tangent en T2 au grand cercle, à [HA] et en A2 à [HC],
cercle (c3), de centre I3, de rayon r3, tangent en T3 au grand cercle, à [HA] et en A3 à [HB],
cercle (ci), de centre I1, inscrit dans le triangle ABC.
Démontrer que les centres des trois cercles sont alignés
et même que le centre du cercle inscrit est à égale distance des deux autres centres.
Indications - Géométrie synthétique
Le cercle inscrit, de rayon , est tangent au côté [BC] en .
La tangente (AC) au cercle inscrit a pour symétrique, par rapport à la bissectrice de l'angle ABC, une des tangentes issue de au cercle inscrit est la perpendiculaire en à (BC).
Le point de [BC] est tel que .
On trouve de même que pour le point tel , la perpendiculaire en à (BC) est tangente au cercle inscrit.
Les points et sont situés à une distance de .
On peut conjecturer que et sont les points de contact des cercles () et () avec [BC],
et que les deux tangentes, parallèles à (A_1I_1), coupent les bissectrices des angles AHC et AHB en et , centres des cercles tangents.
Descartes et les Mathématiques - Preuves géométrie synthétique et analytique