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Binomialverteilung

Sei X die Anzahl der Treffer in einer Bernoulli-Kette der Länge n mit Trefferwahrscheinlichkeit p. Das Histogramm zeigt die Wahrscheinlichkeiten P(X = k) = B(n; p; k) für k Treffer. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X heißt Binomialverteilung. X hat den Erwartungswert μ = np und die Standardabweichung =.
In einer großen Lieferung von Kinderüberraschungseiern befindet sich laut Herstellerangabe in jedem 4-ten Ei ein Schlumpf. Otto kauft 10-mal hintereinander ein Ei. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ergattert er insgesamt genau einen Schlumpf ? mindestens einen Schlumpf ? mehr als drei Schlümpfe ? bis zu drei Schlümpfe ? mindestens drei, aber höchstens sechs Schlümpfe ? Überprüfe folgende Aussagen über die Histogramme bei sich ändernden Parametern: Mit wachsendem p wandert das Maximum nach rechts. (wähle n = 100) Mit wachsendem n wandert das Maximum nach rechts. Die Histogramme werden breiter und flacher und allmählich symmetrisch. (wähle p = 0,75) Die Summe der Flächeninhalte aller Rechtecke eines Histogramms ist 1. Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten P(k1 ≤ X ≤ k2) wird für große Intervalle [k1; k2] und große n selbst mit dem Computer sehr aufwändig. Gerade für solche Fälle gibt es aber eine hinreichend genaue Näherungsformel, die im Folgenden hergeleitet wird. Nach einer Vorlage von: C. Wolfseher