Teorema de Brocard
El Teorema de Brocard afirma que el circuncentro O de un cuadrilátero inscrito [ABCD] es el ortocentro de su triángulo diagonal △LMN. Los vértices del triángulo diagonal de un cuadrilátero son las intersecciones de sus sus diagonales {AC, BD}, y de sus lados opuestos {AB, CD} y {BC, AD}.
DEMOSTRACIÓN
Sean U y V los puntos de intersección de LN con MA y MD. Consideremos el cuadrilátero [LCND], cuyas diagonales LN y CD cortan a su tercera diagonal AB en U y M. Entonces {A, B, U, M} es una cuaterna armónica. A su vez, las diagonales LN y AB cortan a la diagonal CD en V y M, por lo que {D, C, V, M} también es una cuaterna armónica. Por tanto, LN es la polar de M respecto de la circunferencia ω circunscrita a [ABCD] con centro O, y MO es perpendicular a NL.
Análogamente, sean U' y V' son los puntos de intersección de LM con NA y NB. Consideremos el cuadrilátero [LAMD], cuyas diagonales LM y AD cortan a su tercera diagonal BC en U' y N. Entonces {B, C, U', N} es una cuaterna armónica. A su vez, las diagonales LM y BC cortan a la diagonal AD en V' y N, por lo que {A, D, V', N} también es una cuaterna armónica. Por tanto, LM es la polar de N respecto de ω, y NO es perpendicular a ML.
Por tanto, O es el ortocentro del △LMN. A su vez, MN es la polar de L, por lo que △LMN es un triángulo autopolar, en el que cada vértice es el polo del lado opuesto, como ocurre con los triángulos diagonales de cualquier cuadrilátero.
Pueden desplazarse los puntos O, A, B y C directamente y D con el deslizador cuando la animación está desactivada.
Pierre René Jean Baptiste Henri Brocard (12/5/1845-16/1/1922) fue un meteorólogo y matemático francés, con especial dedicación a la geometría.