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circles on hyperboloid 1-sheet

Auteur :Walter Füchte

Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Moebiusebene 23. Juli 2020

Thema dieses Kapitels ist die Frage nach Kreisen auf Flächen im Raum, welche ein 6-Eck-Gewebe bilden. Die Vermutung besteht, dass 6-Eck-Gewebe aus Kreisen im Raum nur auf DARBOUX Cycliden existieren - wenn man von der Kugel absieht: BLASCHKEs Frage nach 6-Eck-Geweben aus Kreisen auf der RIEMANNschen Zahlenkugel ist wohl noch immer ungeklärt! Kreise auf DARBOUX Cycliden findet man, indem man doppelt-berührende Kugeln aufspürt:
  • Doppelt-berührende Kugeln schneiden DARBOUX Cycliden in Kreisen!
Dies zeigt sich besonders auffällig bei einschaligen Hyperboloiden, welche möbiusgeometrisch spezielle DARBOUX Cycliden sind. Ein einschaliges Hyperboloid besitzt 3 Symmetrie-"Kugeln" - üblicherweise sind das die Koordinaten-Ebenen. Als Schnitte mit diesen Symmetrie-Ebenen erhält man eine Ellipse und 2 Hyperbeln. Diese Kegelschnitte besitzen jeweils 3 Scharen doppelt-berührender Kreise, die Tangenten mit eingerechnet - ist möbiusgeometrisch sowohl ein doppelt-zählender Brennpunkt als auch ein Punkt der Kurve: man invertiere einen Kegelschnitt!! Setzt man diese doppelt-berührenden Kreise orthogonal zu den Koordinatenebenen als Kugeln fort, so erhält man die gesuchten doppelt-berührenden Kugeln! Im Applet oben erkennt man die Schnitt-Kreise - oder Geraden! Obwohl unterschiedlich konstruiert, gehören manche Schnittkreise zu denselben Kreisscharen. Auf einschaligen Hyperboloiden gibt es 4 verschiedene Kreis- bzw. Geradenscharen. Aus diesen lassen sich 6-Eck-Netze aus Kreisen bilden: die 4.-te Schar ist jeweils Diagonalschar der anderen 3 Scharen!

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