Distribución binomial

Una distribución de probabilidad de variable aleatoria discreta utilizada ampliamente es la distribución binomial. Esta distribución describe datos discretos, no continuos, que son resultado de un experimento conocido como proceso de Bernoulli, en honor del matemático suizo nacido en el siglo XVII, Jacob Bernoulli. El lanzamiento de la moneda no alterada un número fijo de veces es un proceso de Bernoulli, y los resultados de tales lanzamientos pueden representarse mediante la distribución binomial de probabilidad. El éxito o fracaso de los aspirantes en la Prueba de aptitud de la UNAH, también puede ser descrito como un proceso de Bernoulli.

Cada proceso de Bernoulli tiene su propia probabilidad característica. Considere una situación en la que, a lo largo del tiempo, siete décimas partes de todos los aspirantes aprueban el examen de aptitudes. Diríamos que, en este caso, la probabilidad característica es de 0.7, pero podríamos describir el resultado del examen como de Bernoulli sólo si tenemos la certeza de que la fracción de los que aprueban el examen (0.7) permanece constante en el tiempo.Desde luego que las otras características del proceso de Bernoulli también deben cumplirse. Cada examen tendría que tener solamente dos resultados (éxito o fracaso) y los resultados de cada prueba deberían ser estadísticamente independientes. En un lenguaje más formal, el símbolo p representa la probabilidad de tener éxito (0.7 en este ejemplo) y el símbolo q (q=1 - p) es la probabilidad de que resulte en un fracaso (0.3). Para representar un cierto número de éxitos, utilizaremos el símbolo r, y para representar el número total de intentos o de ensayos utilizamos el símbolo n. En las situaciones que analizaremos, el número de ensayos está fijo desde antes de empezar el experimento. Calculemos, para utilizar este lenguaje en un problema sencillo, las posibilidades de obtener exactamente dos caras (en cualquier orden) en tres lanzamientos de una moneda no alterada. Simbólicamente, expresamos los valores de la forma siguiente: • p probabilidad característica o probabilidad de tener éxito 0.5 • q 1 p probabilidad de fracaso 0.5 • r número de éxitos deseados = 2 • n número de intentos hechos = 3 Fórmula binomial Podemos resolver el problema utilizando la fórmula binomial: Probabilidad de r éxitos en n intentos = El símbolo ! significa factorial y se calcula de la manera siguiente: 3! significa 3 X 2 X 1 igual a 6. Para calcular 5!, multiplicamos 5 X 4 X 3 X 2 X 1 = 120. Los matemáticos definen 0! igual a 1. Utilizando la fórmula binomial para resolver nuestro problema, descubrimos que Probabilidad de 2 éxitos en 3 intentos Al realizar la operación nos da 0.375 Por tanto, existe una probabilidad de 0.375 de obtener dos caras en tres lanzamientos de una moneda no alterada. Uso de Excel

¿Es frecuente que los 5 empleados de una finca lleguen tarde al trabajo. El propietario ha estudiado la situación durante cierto periodo y determino que hay una probabilidad de 0.4 de que cualquier empleado llegue tarde y que las llegadas tarde de los mismos son independientes?. ¿Cómo podría trazar una distribución binomial de probabilidades que ejemplifique las probabilidades de que 0, 1, 2, 3, 4 o 5 empleados lleguen tarde simultáneamente?
n5
éxito llegar tarde
fracasono llegar tarde
p0.4
q0.6
X:cuenta el # de empleados que llegan que llegan tarde x va desde 0 hasta 5
xp(x) con Excel opción falsoF(x)Con Excel opción verdadero






¿Cúal es la probabilidad de que a lo más 2 empleados lleguen tarde? o sea P(X≤2) ¿Cúal es la probabilidad de que exactamente 2 empleados lleguen tarde? P(X=2) ¿Cúal es la probabilidad de que entre 2 y 4  empleados lleguen tarde? ¿Cúal es la probabilidad de que mas de 2 empleados lleguen tarde? ¿Cúal es la probabilidad de que 2 empleados o mas lleguen tarde?

En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que el 5% de los conductores controlados dan positivo en la prueba y que el 10% de los conductores controlados no llevan puesto el cinturón de seguridad. También se ha observado que las dos infracciones son independientes. Un guardia de tráfico para cinco conductores al azar. Si tenemos en cuenta que el número de conductores es suficientemente importante como para estimar que la proporción de infractores no varía al hacer la selección. Calcule lo siguiente: De ser necesario repase las reglas de probabilidad o vea el video en youtube Ampliar tema en pagina 195 del libro de texto

Tarea 71

Determinar la probabilidad de que exactamente tres conductores hayan cometido alguna de las dos infracciones.

Marca todas las que correspondan
Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es . Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:

Tarea 72

Las 5 personas

Marca todas las que correspondan

Tarea 73

Exactamente dos personas

Marca todas las que correspondan

Medidas de tendencia central y de dispersión para la distribución binomial

La distribución binomial tiene un valor esperado o media () y una desviación estándar (). Por ejemplo si se tiene una probabilidad de 0.5 de obtener cara al lanzar una moneda no alterada, después de un número grande de lanzamientos, la media de la distribución binomial del número de caras será 0.5 veces el número total de lanzamientos. Simbólicamente, podemos representar la media de una distribución binomial como: =np donde: • n = número de ensayos • p = probabilidad de tener éxito Y podemos calcular la desviación estándar de una distribución binomial haciendo uso de la fórmula:

Tarea 74

Encuentre la media y la desviación estándar de las siguientes distribuciones binomiales: a) n=15, p= 0.20. b) n=8, p=0.42. c) n=72, p=0.06. d) n=29, p=0.49. e) n=642, p=0.21.

Tarea 75. Puedes utilizar el applet para confirmar tus respuestas

Uso de la tabla binomial

Uso de excel

Para trabajar valores en Excel

media = n*p varianza= n*p*q Puede crear la tabla de probabilidades = =+DISTR.BINOM.N(x;media;probabilidad;VERDADERO)