Aproximación por cuadrados mínimos
Una introducción a la aproximación
Cuando nos dan un conjunto de datos , no podemos ignorar que esos datos fueron obtenidos por un método experimental e imperfecto, por lo que estos no representan la realidad del fenómeno que nos interesa, sino que están cerca.
Interpolar los datos sería asumir que los datos son perfectos y no tienen errores, lo que resultaría en una función poco realista, ¡pruebenlo ustedes mismos! Pongan 5 puntos muy muy cerca, casi en una linea recta, en el recurso de interpolación y vean cómo la función hace locuras solo para poder pasar por cada punto. El resultado no se asemeja a una línea recta.
Por esta razón, principalmente, no solemos interpolar datos para extraer información, sino que los aproximamos de otra manera: Primero vemos los datos y decimos "esto tiene pinta de... funcion lineal, pero... ¿cual es su pendiente? ¿y su termino independiente?". Entonces, los dejaremos como parámetros desconocidos, y nuestra función de aproximación será:
Luego definimos una cantidad llamada "error cuadrático":
la cual representa qué tan lejos está nuestra función de los datos. Esta cantidad dependerá de la función escogida para aproximar los datos, y por lo tanto, de los parámetros desconocidos.
En nuestro ejemplo de funcion lineal, el error termina siendo:
Finalmente, dado que conocemos todos los datos e , el error es una función de 2 variables: y , y podemos minimizarlo utilizando los métodos aprendidos en los cursos de análisis. El resultado termina siendo:
y
¿Y si nuestros datos no parecieran lineales?
El primer paso en toda aproximación es elegir la función, si no tenemos la suerte de que los datos parezcan lineales, deberemos utilizar otra, y el procedimiento es el mismo: utilizando la misma definición de error pero cambiando por la función que nosotros queramos. Sin embargo, a veces es imposible resolver el problema de minimizar dicha función analiticamente, por lo que hacemos lo siguiente:
Aplicamos una transformacion inversible a los datos, de forma que sus imagenes sí se vean como una funcion lineal, entonces aproximamos linealmente y luego, a la funcion lineal obtenida, le aplicamos la transfrmacion inversa, obteniendo una aproximacion decente de los datos originales, veamos un ejemplo:
Aproximación en un caso concreto
¿Qué similitudes y/o diferencias podés encontrar entre la interpolación y la aproximación?