Kiintopistemenetelmä ja sen graafinen havainnollistus
- Tekijä:
- Hannu Sinisalo
Kiintopistemenetelmän eli Picardin iteraatiomenetelmän ideana on muokata yhtälö muotoon . Perusajatus on, että yhtälön juuri, eli samalla yhtälön juuri, löytyy käyrän ja suoran leikkauspisteestä, eli ns. kiintopisteestä (mistä myös menetelmän nimi johtuu). Nyt yksinkertaisesti valitaan sopiva alkuarvaus , jonka jälkeen iteraatiokaava nollakohdan likiarvolle on . Voidaan osoittaa, että jos funktion nollakohdan sisältävällä välillä , tämä iteraatio toimii millä tahansa alkuarvauksella tältä väliltä.
Tässä voit tarkastella sopivaa funktiota sopivalla alkuarvauksella . Muutama iteraatio on laskettu valmiiksi taulukon A-sarakkeeseen. Vetämällä solusta A3 alaspäin pitkin saraketta A saat lisää likiarvoja. Vetämällä soluista B1 ja C1 lisää arvoja sarakkeisiin B ja C saat piirrettyä kuvaajaan iteraation reittiä, joka toivon mukaan lähestyy käyrän kiintopistettä. Appletin oikeassa ylänurkassa olevasta kuvakkeesta pääset palaamaan alkutilanteeseen.
Huom! B- ja C-sarakkeiden iterointijanoja piirtäessä on huomattava, että saraketta A on oltava laskettuna valmiiksi vähintään kaksi riviä pidemmälle.
Applettiin on sisällytetty muutakin Geogebran toiminnallisuutta. Tärkeimpänä on mahdollisuus siirtää koordinaatistoa sopivaan paikkaan sekä zoomata kuvaa lähemmäs ja kauemmas.
- Kokeile muuttaa iteraation alkuarvausta . Miten se vaikuttaa kiintopisteen löytymiseen?
- Kokeile toisenlaisia funktioita funktion paikalle. Koeta löytää funktioita, joilla iteraatio onnistuu ja funktioita, joilla se ei onnistu. Minkälaisia ominaisuuksia on funktioilla, joilla iteraatio toimii?
- Etsi yhtälölle väliltä juuri kiintopistemenetelmällä kuuden desimaalin tarkkuudella.
- Funktiot ja ovat toistensa käänteisfunktioita. Mitä voit sanoa niiden kiintopisteistä? Miksi? (Kuutiojuuren saat kirjoittamalla funktion syötekenttään cbrt(x).)
- Ratkaise yhtälön välillä oleva juuri neljän desimaalin tarkkuudella käyttäen kiintopistemenetelmää.