複素積分は周回の一筆書き？で単純化
１。複素関数の積分値は経路によって変わるのか？
このワークシートはMath by Codeの一部です。
複素関数の微分では、
ｚ平面でｚ＝bをｚ＝aに近づくとき、無数の近づき方があるので、微分できる保証はなかった。
でも、微分できる保証をしてくれる便利な道具がCRE（コーシー・リーマン方程式）だったね。
複素関数の積分でも経路が大切だ。
ｚ平面でｚ＝aからｚ＝bに変化させるにはいろんな経路がある。
経路を変えても積分値が変わらないときは、単純な経路に置き換えることが重要になる。
そこのところをくわしく見ていこう。
＜経路積分（線積分）＞
・積分は線形な操作だから、ｋ倍の積分は積分のｋ倍、和差の積分は積分の和差になる。
また、分割できる経路での積分は分割した経路での積分の和になる。
言い換えると、経路を逆向きにした積分は、もとの経路の積分と符号が逆で大きさが同じになる。
・z=x+i yがパラメータtの関数なら、dz= dx + i dy＝ dtとパラメータ変換できるね。
ｚの関数f(z) の曲線C：z=z(t) a≦ｔ≦bでの経路積分は、∫Cf(z) dz=∫ab f(z(t)) dt
・正則関数の定積分
領域D内で正則な関数f(x)に対してF'(x)=f(x)となる正則な不定積分F(x)があれば
経路がちがっても、端点だけで積分値は等しくなる。
これを定積分といい、∫ab f(z)dz=[F(z)]ab =F(b)-F(a)と、実関数での積分と同様の計算ができる。
・正則でない関数の定積分
実際ｚの共役複素数ｚ*は、正則な関数ではない。
w=f(x+yi)=x-yiはU=x, V=-y。Ux=1=-Vy, Uy=0=Vxだから、CRE（Ux=Vy, Uy=-Vx)から正則ではないね。
正則でない定積分は経路によって値が変わる。
（例）
平面でｚ＝０からｚ＝1+iに変化させるにはいろんな経路がある。
zの共役複素数ｚ*を積分するのに、２つの経路C1, C2+C3で値を調べてみよう。
C1：ｚ＝ (1+i) t ( 0≦ｔ≦1) は（０，０）と（１，１）を結ぶ線分 dz=(dz/dt) dt= (1+i) dt
C2：ｚ＝ t ( 0≦ｔ≦1) は（０，０）と（１，0）を結ぶ線分 dz=(dz/dt) dt= 1 dt
C3：ｚ＝ 1+i t ( 0≦ｔ≦1) は（1，0）と（１，1）を結ぶ線分 dz=(dz/dt) dt= i dt
∫C1 z dz= ∫01 [(1+i) t]* (1+i) dt =∫01 (1-i) t (1+i) dt = ∫01 2t dt=[t2] 01 =1
∫C1+C2 z dz= ∫01 [ t]* 1 dt+ ∫01 [1+i t]* i dt = ∫01 t dt+ ∫01 [1-i t] i dt
=∫01 t dt+∫01 (i+t) dt=∫01 2t dt+∫01 i dt=[t2] 01 +i [t] 01 = 1+i
やはり、始点と終点が同じでも経路がちがうので線積分はちがうね。
関数の積分が経路によって変わるのは正則でないから
２．コーシーの積分定理で単純化
複雑なものがあれば分解、合成、変形で単純化するというのは数学でよくやる手だ。
複素関数の積分でもそれができたらいいね。
＜コーシーの積分定理（正則関数の周回積分＝０）＞
ｚの関数f(z)＝U(x,y) + i V(x,y) を周回積分する。
曲線C：z=z(t)が閉曲線で、f(z)がC内部領域で正則な関数ならば、周回積分＝０
理由は、ストークスの定理とCRE（コーシー・リーマンの方程式）Ux=Vy and Uy=-Vxから
∫Cf(z) dz
=∫C(U+i V)(dx+i dy)
=∫C(U dx -V dy)＋i ∫C(V dx +U dy)
=∫S((-V)x -Uy)dxdy＋i ∫S(Ux -Vy)dxdy （ストークスの定理から）
=-∫S(Vx +Uy)dxdy＋i ∫S(Ux -Vy)dxdy
＝０ （CREから)
周回積分＝０という結果は拍子抜けする結果だね。
でも、積分の線形性と積分の区分独立性とストークスの定理という中抜きの定理からすれば、
線分上の動きを中抜きすれば、スタートとゴールが同じ点で無変動。つまりｚ＝０の複素数になる。
そう考えれば納得がいくでしょう。
場合によっては、自分と交わらない閉曲線のことを単一閉曲線という、略して単閉としよう。単閉を回るときは原則左回り、偏角が増加する向きとしよう。また、回転は1回転を基本とする。
だから、断りがないとき曲線Cと言えば、単閉で、左回りに1回転するものとして、記述を単純にする。
Cの中心が原点出ない点aとする円のときは、Caなどとかくことにする。
曲線Cとその内部領域(Domain)のことをCDとかこう。
nがすべての整数(ー∞から＋∞まで)のときに成り立つ、
「複素解析の基本定理」が次です。
円Ca：|z-a|=rにそった周回積分は、
1/(z-a)の積分＝2πi、
1/(z-a)nの積分=0。
つまり∫C 1/(z-a)^n dz=2πiδn1です。
（理由）
Caの点ｚ＝a+reiθ(0≦θ≦2π)だから、
1/(z-a)=1/reiθ＝r-1 e-iθとパラメータ化できる。
dz=(dz/dθ)dθ=ireiθ dθ dzもパラメータ変化できる。これから、線積分を求めよう。
∫C 1/(z-a) dz=∫02π (1/reiθ i*reiθ )dθ = ∫02π i dθ=i[θ] 02π =2πi
∫C 1/(z-a)n dz=∫02π r-n e-inθ i r eiθ dθ = ir1-n ∫02π ei(1-n)θ dθ=ir1-n [1/i(1-n) ei(1-n)θ] 02π =0
みかけは似ているが、n=1のときだけz＝aの穴を含むことで周回した結果が大嵐になる。
nが１でないと逆数にした(z-a)nと同じく正則関数の結果になっている。
このn=1のときだけ大嵐というイメージはあとにつながる大切なものです。
（例）
ただし、同じ関数でも経路をずらしてあげれば、周囲も領域も穴にぶつからないようにすれば、
正則関数と同じ無風となる。
べき関数(z-a)nはｚ平面全体で正則なので、単閉C１Dでも正則なので、∫C1(z-a)n dz=0
f(z)=1/(z-a)nはaでは正則にならないが、点aが単閉C2Dの外なら単閉C2Dでfは正則だから∫C2f(z) dz=0
＜積分を単純化しよう＞
・系１
領域Dに正則関数f(z)がある。
Dの内部に単閉C1Dがあり、その中に単閉C2Dがあるとしよう。
C１、C２周回で、∫C1f(z) dz＝ ∫C2f(z) dz
C1を1周から、内部でC2に連結ABして、C2を右1周し連結線BAと一筆書きする。
つまり、C1+AB＋(-C2)+BAができる。コーシーの定理から、
∫C1+AB＋(-C2)+BA f(z) dz=0
積分の線形性と逆順路の積分和が０だから、
∫C1f(z) dz- ∫C2f(z) dz=0 となるから。
（例）
円Ca：|z-a|=r（反時計回り）にそった1/(z-a)の積分＝2πi、1/(z-a)nの積分=0。
だから、円Caを含む単閉C2Dでの積分値もそれぞれ、2πi、0になる。
・系２
領域Dに正則関数f(z)がある。
Dの内部に単閉C1Dがあり、その中に互いに素な単閉C2D、C3D、…...、CｋDがあるとしよう。
C1からCkまで周回積分するとき、∫C1f(z) dz＝ ∫C2f(z) dz+∫C3f(z) dz+........+∫Cｋf(z) dz
C1を1周して、内部でC2,C3,...を順に右回りで半周して、最後のCkを右1周し、
帰り道を…C3、C2,C1ともとにもどる橋渡しの一筆書きができる。
積分の線形性と逆順路の積分和が０だからそうなるね。
（例）
円Ci：|z-i|=1/2の周回なら、1/(z-i)の積分＝2πi、1/(z+i)の積分はCiで正則だから=0。
円C-i：|z+i|=1/2の周回なら、1/(z+i)の積分＝2πi、1/(z-i)の積分はC-iで正則だから=0。
円C0：|z|=2でのf(z)=z/(z2+1)=1/2[1/(z-i)+1/(z+i)]の周回積分を考える。
積分路C0にそったf(z)の積分はコーシーの系から積分路CiとC-iで和分解できる。
Ciにそった f(z)の積分値は1/2[2πi+0]=πi、
C-iにそった f(z)の積分値は1/2[0+2πi]=πi。
だから合計2πiだね。
大きな円が分母の穴を２つともつつんでしまっているから嵐は消えない!
３．コーシーの積分公式で積分の幅を広げる
＜積分表示＞
領域Dに正則関数f(z)/(z-a)がある。
Dの内部に単閉CDがあり、その中に単閉CaDがあるとしよう。
点aはCaDにあり、Caは|z-a|=rの反時計回りの円周だとする。
コーシーの定理の系１から、
CDにおけるf(z)/(z-a)の周回積分＝CaDにおけるf(z)/(z-a)の周回積分となるね。
Ca上のz=a+reiθについて、dz=dz/dθ dθ= ir eiθdθから1/(z-a)=1/reiθだから、
1/(z-a)dz = 1/reiθ ir eiθ dθ＝ i dθとなる。
だから、ｒ→０の極限は
∫C f(z)/(z-a) dz=∫Ca f(z)/(z-a) dz=∫02π f(a + reiθ) i dθ
→∫02π f(a) i dθ＝f(a) i[ θ] 02π =f(a) 2πi =2πi f(a)
つまり、
∫C dz＝2πi f(a)
嵐(2πi)と無風0の2択だったのが、f(a)つきが登場した。
台風の目はない。
1/(z-a)の積分のときの嵐の高さ１が、f(z)/(z-a)の嵐では高さf(a)に増幅されているね。
分母の計算は1/(z-a)と同じだから、2πiができて、1がf(z)=f(a+re^iθ)→f(a)になっただけとも言える。
aを中心に半径を小さくしても穴は残るから、正則にはならず2πif(a)と、穴z=aでの値f(a)倍になった。
これって、
f(a)=1/2πi ∫C dz
と書き換えることができる。
f(z)のz=aでの値はfをaの穴のある分母で割った周回積分を2πiで割った値と等しい。
ということは、穴を動かしていくと、f(a)が動いてf(z)となるね。
aをｚとして動かすために、zをζとしてからaをｚを置き換える。
f(z)=1/2πi ∫C dζ （コーシー積分公式）
つまり、正則関数f(z)をｚが穴にあたる形式の積分の形に置き換えることができる。
・これを微分してみる。
df(z)/dz=1/2πi [d ∫C dζ/dz]=1/2πi ∫C d/dz f(ζ)dζ =1/2πi ∫C dζ
f’’(z)=1/2πi ∫C d/dz dζ=2*1/2πi ∫C dζ
f’’’(z)=21/2πi ∫C d/dz dζ=3*2 1/2πi ∫C dζ
........................
f(n)(z)=n!* 1/2πi ∫C dζ （グルサー公式）
なんと、正則関数f(z)のn回微分を積分形式に置き換えることができたね。
そのとき、ｚの穴部分の分母が微分のたびに位数があがりn+1位となり、
ｎの階乗を前にかけている形になった。
言い換えると、正則関数をｚの穴の式のn+1乗で割った周回積分はｆ(z)のｎ階微分/n!が
嵐の高さとなる。
∫C dζ=2πi f(n)(z)/n!
そして、正則な関数は何回でも微分できることもわかったね。
コーシーの積分表示とグルサー公式を使ってみよう。
（例）
円C：|z|=4で単閉CDで正則関数f(z)を周回積分しよう。
f(z)=z3,とすると、∫C z3/(z-i)dz= ∫C f(z)/(z-i)= 2πi * i3= 2π
f(z)=coszとすると、∫C cosz/(z-π)dz= ∫C f(z)/(z-π)= 2πi * cos(π)= -2πi
f(z)=z/(z-5)とすると、∫C z/(z-5)(z+2)dz= ∫C f(z)/(z+2)= 2πi * f(-2)=2πi * (-2)/(-7) = 4/7 *πi
f(z)=3z2とすると、∫C 3z2/(z-i)3dz= ∫C f(z)/(z-i)3= 2πi * f(2)(i)/2!= 2πi * 6/2=6πi
（例）
円C：|z|=1で単閉CDで正則関数f(z)を周回積分しよう。
f(z)=sinzとすると、∫C sinz/z2dz= ∫C f(z)/(z-0)2= 2πi * f(0)'= 2πi*cos(0) =2πi
f(z)=1/8z3とすると、∫C z3/(2z -1)3dz=∫C 1/8 z3/(z -1/2)3dz= 2πi * f(2)(1/2)/2!= 2πi * 3/4(1/2)/2=3/8 *πi