Método de Newton-Raphson
Método de Newton-Raphson
Principio de operación del Método de Newton-Raphson
El método de Newton–Raphson es un método numérico que tiene como particularidad el uso de un punto inicial conocido. Asimismo, requiere del uso de la derivada de la función a estudiar en cada proceso iterativo. Al utilizar este método numérico, es vital tener mucho cuidado cuando se determina la derivada de manera analítica, ya que un pequeño error arruinaría todo el cálculo. Este método también permite evaluar a la derivada de forma numérica, lo cual, es muy recomendable cuando la función en estudio es muy compleja para resolverla de manera analítica.
La idea principal del método de Newton-Raphson es extender una recta tangente a un punto ubicado sobre la función a estudiar, para que, de ese modo, evaluar el nuevo valor estimado de la solución al problema: . Cabe destacar, que la pendiente de la recta tangente a la función en un punto determinado representa a la derivada de la función en dicho punto de evaluación, esto es, . Dicha recta tangente interseca al eje x, encontrando así el nuevo valor aproximado de la raíz de la función estudiada. Si repetimos el proceso, nos lleva al siguiente algoritmo iterativo.
La fórmula que permite realizar el algoritmo que calcula el valor aproximado de la raíz (o cero) de la función a estudiar es:
Donde y son, respectivamente, el valor actual y el valor anterior de a calcular, y son la función y la derivada evaluadas para cada uno de los valores de calculados durante el algoritmo arriba mencionado.
El proceso iterativo culminará cuando la diferencia entre una iteración y su predecesora sea un número tan pequeño que se considere como un error pre–especificado, o una cantidad tan pequeña, que dé por finalizado el proceso iterativo. Comparando dicha cantidad pequeña (error; ) con un valor ya establecido (tolerancia; ) nos permite finalizar el proceso de iteración, tal condición mide el grado de
aproximación del cálculo, esto es: