Copie de Archimède: volume de la boule unité
Une sphère, un cylindre et un cône droit de même rayon sont présentés et coupés par un plan de hauteur h. Les intersections des solides avec ce plan sont des diques dont les rayons sont respectivement √(1-h²), 1 et h. L'aire des disques intersectant la sphère et le cône s'ajoutent pour égaler celle du cylindre.
Observez comme l'aire des disques intersectant le cône et la sphère unité évoluent en fonction de la hauteur. Remarquez que leur somme est toujours égale à l'aire du disque intersectant le cylindre.
Pour le comprendre géométriquement, placez vous dans le triangle rectangle composé du centre de la sphère, du centre du disque à hauteur h et d'un point de la sphère à cette hauteur. Ses côtés sont h, 1 et √(1-h^2).
Comme l'aire d'un disque est proportionnelle au carré de son rayon, on prouve ainsi que l'aire des deux petits disques s'ajoutent en l'aire du disque dans le cylindre.
Comme c'est vrai pour toutes les hauteurs, un élément de volume donné par un disque épaissi, dans les trois solides, permet d'affirmer que le volume de la sphère plus celui du double-cône (de hauteur totale 2) sont égaux au volume du cylindre de rayon 1 et de hauteur 2.
Le volume du cône est le tiers du volume du cylindre, soit 2π/3, celui de la sphère est donc le double, soit 4π/3.