Polinomio interpolador de Lagrange
Cómo hallar un polinomio que pase por todos los puntos que necesitemos
Para poder construir un polinomio que pase por determinados puntos, debemos definir primero algunos polinomios auxiliares.
Por cada punto, debemos hallar un polinomio auxiliar que pase por ese punto y a su vez tenga raíces debajo (o arriba) de los demás puntos. Si repetimos esto para todos y luego los sumamos, el polinomio interpolador va a pasar por todos los puntos, pero ellos no interferirán entre sí, pues la única contribución que logra que la interpolación pase por un punto corresponde a su propio polinomio auxiliar. ¡Por eso necesitamos que haya raíces en todos los otros lugares!
¿Cómo construimos un polinomio que interpole 5 puntos?
Ahora que exploraste esta construcción, te proponemos algunos desafíos...
¿Te animás a investigar por qué existe sólo un polinomio de grado 5 que interpole 5 puntos?
Supongamos que estamos recolectando datos de la temperatura de un reactor nuclear en distintos momentos para arreglar el sistema que lo refrigera. Sólo nos dejan medir por una hora por los peligros de estar cerca de un reactor con su refrigerador defectuoso. Pasada la hora, habíamos medido 10 veces y armamos una interpolación de esos puntos. Sin embargo, nos comunican que la temperatura está estabilizada y podemos realizar más mediciones. ¿Hay alguna forma de incorporar los nuevos puntos sin tener que hacer todos los polinomios auxiliares de nuevo?
¿En qué casos te imaginás que no sería conveniente usar interpolación?