ATIVIDADE 3 – PAVIMENTAÇÃO
A pavimentação (ou ladrilhamento) é a arte de cobrir um plano com polígonos sem deixar espaços ou sobreposições, de modo que as figuras se encaixem perfeitamente e os ângulos em cada vértice somem 360°. Na arte, algo parecido com a pavimentação é chamada também de Tesselação, que é o processo de cobrir uma superfície com uma ou mais formas geométricas de forma a não deixar lacunas ou sobreposições. Pode também ser conhecida como uma técnica de criar polígonos que se sobreponham.
![Imagem: Texas tessellation. Link: [url=http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Texas_tessellation.svg]http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Texas_tessellation.svg[/url]](https://beta.geogebra.org/resource/krmb2uxk/mmYhkOefaJX7Svh2/material-krmb2uxk.png)
Para entender isso, pode-se analisar os polígonos convexos regulares – regular significa que todos os lados tem a mesma medida. Abaixo estão cinco deles, ainda há polígonos regulares de oito lados (octógono), nove lados (eneágono), e assim por diante.
Na técnica de pavimentação, o encontro dos sólidos em um vértice deve completar uma volta perfeita, ou seja, 360°. O triângulo regular (equilátero) tem como ângulo 60°, quadrado 90° e o hexágono 120° - todos esses ângulos dividem 360°. Essa propriedade só vai valer para esses polígonos regulares, os demais têm ângulos que não dividem 360°.
Atividades no Geogebra:
1) Pavimentando o triângulo:
Pavimentação do triângulo
2) Pavimentando o quadrado:
Pavimentando o quadrado:
3) Pavimentando o Hexágono:
Pavimentando o Hexágono
Agora, vamos aprender uma prática de criação de figuras para pavimentação. Essa técnica é a mesma usada pelo artista holandês M. C. Escher.
4) Pavimentação por rotação:
Pavimentação por rotação
Desafie-se: como poderíamos completar a imagem fazendo ela se encaixar nas laterais? Uma dica é utilizar o ponto médio das figuras. Mas, qual seria a transformação isométrica utilizada?
5) Por que as figuras que criamos na atividade 4 se encaixam? Justifique sua resposta.
É importante entender que há outras combinações de figuras que podem pavimentar o plano. Um exemplo é usar hexágonos regulares e triângulos equiláteros. Outro exemplo está abaixo.
![[center]Imagem: Trihexagonal tiling, recolored into star
hexagons. Link: [url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Trihexagonal_tiling_stars.svg]https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Trihexagonal_tiling_stars.svg
[/url][/center]](https://beta.geogebra.org/resource/yuumk9tu/Cw78BzxQpxtz15Xz/material-yuumk9tu.png)
Imagem: Trihexagonal tiling, recolored into star hexagons. Link: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Trihexagonal_tiling_stars.svg