Newtonin algoritmi

Newtonin algoritmi funktion nollakohdan löytämiseksi on nerokas menetelmä, joka perustuu funktion kuvaajan arviointiin omalla tangentillaan. Jos tangenttisuoran yhtälö tunnetaan, on sen nollakohdan laskeminen helppoa (jopa käsin – muistetaan kuitenkin, että Sir Isaac Newton eli vuosina 1643–1729!). Peruslähtökohtina ovat nollakohdan varma olemassaolo (voidaan varmistaa esim. Bolzanon lauseen avulla) sekä tutkittavan funktion derivoituvuus. Algoritmi etenee seuraavasti:
  1. Valitaan nollakohdalle alkuarvaus . Tämän arvion kannattaa olla jo "melko hyvä" algoritmin asianmukaisen toimivuuden takaamiseksi.
  2. Piirretään funktion kuvaajalle kohtaan tangentti.
  3. Tangetin ja -akselin leikkauskohta on uusi arvio funktion nollakohdaksi.
Kun algoritmia toistetaan eli iteroidaan riittävän monta kertaa, päästään yhä lähemmäksi nollakohdan oikeaa arvoa. Tällä sovelmalla voidaan laskea halutulle funktiolle halutulla alkuarvauksella viisi Newtonin algoritmin iteraatiota. Kokeile muutamaia erilaisia funktioita ja alkuarvauksia. Vastaa sitten alla oleviin kysymyksiin. Kokeile ensin ilman oppikirjaa!